凸函数在证明不等式中的应用VIP专享VIP免费

摘要凸性是一种重要的几何性质，凸函数在泛函分析，最优化理论，数理经济学等领域都有着广泛的应用.本文首先给出了凸函数的定义和判定定理，同时讨论了凸函数的几条常用性质，最后重点展示了凸函数在证明不等式中的应用.关键词:凸函数，凸性，判定定理，不等式AbstractConvexityisanimportantgeometricproperty.Convexfunctionhaveextensiveapplicationsinfunctionalanalysis,optimaltheoryandmathematicaleconomy.Thisarticlefirsthasgiventhedefinitionofconvexfunctionanditsdecisiontheorem,meanwhilediscussedconvexfunctionseveralcommonlyusednature，lastlyhasdemonstratedtheconvexfunctionininequalityproofapplication.Keywords：convexfunction，convexity,decisiontheorem,Jenseninequality凸函数在证明不等式中的应用1引言在数学思想方法中，函数思想是一种很重要的思想方法，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进而寻求解决问题的途径.凸函数是一类重要的函数，它的概念最早由给出.它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具.应用研究方面，凸函数作为一类特殊函数，在现代优化学、运筹学、管理学和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用.在数理经济学中,对风险厌恶的度量,也可以表现为对效用函数凸性的选择，函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态，把握函数在区间上的整体性态，不仅可以更加科学、准确地描绘出函数的图象，而且有助于对函数的定性分析.由于凸函数具有较好的几何和代数性质，一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出，对不等式的证明最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的凸性就显得十分必要了，同时利用凸函数的凸性证明不等式，很容易证明不等式的正确性.因此，正确理解凸函数的定义、性质及其它在证明不等式中的应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用.2凸函数的基本知识2.1凸函数的定义大家都熟悉函数的图像，它的特点是：曲线上任意两点间的弧总在这两点连线的下方.我们可以下这样一个定义：设在上有定义，若曲线上任意两点间的弧总位于连接该两点的线段之下，则称函数是凸函数.定义[1]若函数对于区间内的任意以及任意实数，恒有，（1）则称为区间上的凸函数.如果（1）中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数.常见的凸函数有：①,均为内的严格凸函数；②均为内的严格凸函数.2.2凸函数的判定定理及其性质1凸函数在证明不等式中的应用引理[1]若为区间上的凸函数，则对上的任意<<,有（2）定理1[1]设为区间上的可导函数，则下列论断互相等价：为上凸函数；为上的增函数；对上的任意两点，有.定理2[1]设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸函数的充要条件是（）.用定义来直接判断一个函数是不是凸函数，往往是很困难的，但用定理2来判断一个光滑函数是否为凸函数，则是相当简便的.在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸性，再反过来利用凸性证明不等式.性质1[2]若是区间上的凸函数，则对上的任一内点,单侧导数皆存在，且，这里表示的全体内点组成之集合.证明因为内点,故使得,,因为是区间I上的凸函数，故，当递增时,也递增.2凸函数在证明不等式中的应用故由单调有界原理知,下极限存在且(x)=.同理,在此式中，令时,也可知存在,且.性质2[2]若在区间I上为凸函数，则在任一内点上连续.证明事实上由性质1知：与存在，所以在处左右都连续.性质3[2]设函数在区间I上为凸函数，则在I上的任一闭子区间上有界.证明设为任一闭子区间，于是有①取则，因为凸函数,所以，其中，故在上有上界；②记为的中点，则，有关于的对称点，因为凸函数，所以，从而，即为在上的下界.综上，在I上的任一闭子区间上有界.3凸函数在证明不等式中的应用在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙，但关键是构造能够解决问题的凸函数，运用函数的凸性及几个等价论断，使不等式简化进而得以证明.不等式[1]是区间上的凸函数，，对于满足的...