考研数学春季基础班线性代数辅导讲义汤家凤

精心整理2013考 研 数 学 春 季 基 础 班 线 性 代 数 辅 导 讲 义 - 主讲：汤家凤第一讲行列式一、基本概念定义 1 逆序—设ji,是一对不等的正整数，若ji，则称),(ji为一对逆序。定义 2 逆序数—设niii21是n,,2,1的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21niii，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。定义 3 行列式—称nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211称为 n 阶行列式，规定nnnnjjjjjjjjjaaaD21212121)()1(。定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211中元素ija 所在的 i 行元素和 j 列元素去掉，剩下的1n行和1n列元素按照元素原来的排列次序构成的1n阶行列式，称为元素ija 的余子式，记为ijM ，称ijjiijMA)1(为元素ija 的代数余子式。二、几个特殊的高阶行列式1 、 对 角 行 列 式 — 形 如naaa00000021称 为 对 角 行 列 式 ，精心整理nnaaaaaa2121000000。2、上（下）三角行列式—称nnnnaaaaaa00022211211及nnnnaaaaaa21222111000为上（下）三角行列式，nnnnnnaaaaaaaaa221122211211000，nnnnnnaaaaaaaaa221121222111000。3、||||BABOOA，||||BABOCA，||||BABCOA。4、范得蒙行列式—形如112112121111),,,(nnnnnnaaaaaaaaaV称为 n 阶范得蒙行列式，且nijjinnnnnnaaaaaaaaaaaV1112112121)(111),,,(。【注解】0),,,(21naaaV的充分必要条件是naaa,,,21两两不等。三、行列式的计算性质（一）把行列式转化为特殊行列式的性质1、行列式与其转置行列式相等，即TDD。2、对调两行（或列）行列式改变符号。3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。精心整理推论 1 行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。推论 2 行列式某两行（或列）相同，行列式为零。推论 3 行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即nnnniniinnnnniniinnnnnininiiiinaaabbbaaaaaaaaaaaaaaabababaaaa21211121121211121121221111211。5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即nnnnjnjjjninjijinnnnnjnjjiniinaaaaaakaakaakaaaaaaaaaaaaaaaaa212122111121121212111211，其中 k 为任意常数。【例题 1】设321,,,,为 4 维列向量 ,且4|,,,|||321A，21|,3,,|||321B，求||BA。【例题 2】用行列式性质 1~5 计算842...