考研高数总结

微分方程（一）基本概念和一阶微分方程1、 通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；有时也称为一般解但不一定是全部解。特解：不含有任意常数或任意常数确定后的解。（有的是用隐函数表示！！！）2、几阶微分方程就有几个初始条件。微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条几分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。3、可分离变量的微分方程：dxxfdyyg)()(推广形式：齐次方程)1(:CxCxdxuufduudxduxudxdyuxyxydxdy||ln)()(,),(则令形。属于可分离变量方程情则令则令情形当属于齐次方程情形。，则令的解情形，先求出当则令)(,),)((,,0|baba|2)()(,),,(000|baba|1)()3()()(,),0,0)(()2(2111111121111112122211221122112221112211222111cucufbadxdybadxduybxaucybxacybxafdxdybbaauvbauybafvbuavbuafdudvyvxucybxacybxacybxacybxafdxdycxdxubfaduubfadxduucbyaxbacbyaxfdxdy4、一阶线性微分方程及其推广))((),(,)(),()()2(,,0)(:)1()()()()(CdxexQeyxCexCyxQyxPdxdyCCeyyxPdxdydxxPdxxPdxxPdxxP则得代入方程求出令解公式用常数变易法可求出通一阶线性非齐次方程：为任意常数）（通解公式为，它也是可分离变量方程一阶线性齐次方程(3)（3）见下页方程求解。再按照一阶线性非齐次把原方程化为令伯努利方程：),()1()()1(,),1,0()()()3(1xQnzxPndxdzyznyxQyxPdxdynn(4)。阶线性非齐次方程求解为未知函数，再按照一为自变量，以，可化为方程：xyyQxyPdydxxyPyQdxdy)()(,)()(15、全微分方程及其推广));arctan(21()(1));arctan(21()(1);121()();121()();ln21();ln21();(arctan);(arctan);();()];ln(21[)];ln(21[);(ln);();2();2(),(),(),(:),(),(),(),(),(,),(:,0),(),()1(222222222222222222222222222222222222222222yxdyxydyxdxyxdyxydyxdxyxdyxydyxdxyxdyxydyxdxyxyxdyxydxxdyyxyxdyxxdyydxxydyxydxxdyyxdyxxdyydxxydyxdyydxyxdxydxxdyyxdyxydyxdxyxdyxydyxdxxydxyxdyydxxydxdyydxyxdydyxdxyxdydyxdxyxdudyyxQdxyxPyxudyyxQdxyxPyxduyxuCyxuyPxQdyyxQdxyxP流，就很有帮助。的全微分公式要倒背如把常见的一些二元函数第一种：凑微分法的常用方法求满足其中通解满足全微分方程)()()(]),([),()(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(:00000000),(),(00yCyCyCdxyxPyyuyxQyyCdxyxPyxuyxPxudyyxQdxyxPyxudyyxQdxyxPyxuyxuyyxxyxyxu积分后求出求出求导得对得由第三种：不定积分法：积分与路径无关）特殊路径积分法（因为第二种...