1 练习一 多元正态分布的参数估计 2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。 解:多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况,12(,,)pXXXX的联合分布密度函数是一个p 维的函数,而边际分布讨论是12(,,)pXXXX的子向量的概率分布,其概率密度函数的维数小于p。 2.2 设二维随机向量12()XX服从二元正态分布,写出其联合分布。 解:设12()XX的均值向量为12 μ,协方差矩阵为21122212,则其联合分布密度函数为 1/212221121122221221211( )exp()()22f xxμxμ。 2.3 已知随机向量12()XX的联合密度函数为 121212222[()()()()2()()]( ,)() ()dc xaba xcxa xcf x xbadc 其中1axb ,2cxd。求 (1)随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差; (2)随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数; (3)判断1X 和2X 是否相互独立。 2 (1)解:随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差; 112121222[()()()()2()()]()() ()dxcdc xaba xcxa xcfxdxbadc 12212222222()()2[()()2()()]() ()() ()ddccdc xa xba xcxa xcdxbadcbadc 121222202()()2[()2() ]() ()() ()dd ccdc xa xba txa t dtbadcbadc 22121222202()()[()2() ]1() ()() ()d cdcdc xa xba txa tbadcbadcba 所以 由于1X 服从均匀分布,则均值为2ba ,方差为212ba。 同理,由于2X 服从均匀分布2121,()0xxc dfxdc其它,则均值为2dc ,方差为 212dc。 (2)解:随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数; 12cov(,)xx 12121212222[()()()()2()()]22() ()dbcadc xaba xcxa xcabdcxxdx dxbadc ()()36cd ba 1212cov(,)13xxxx (3)解:判断1X 和2X 是否相互独立。 3 1X 和2X 由于121212( ,)( )()xxf x xfx fx,所以不独立。 2.4 设12(,,)pXXXX服从正态分布,已知其协方差矩阵为对角阵,证明其分量是相互独立的随机变量。 解: 因为12(,,)pXXXX的密度函...