2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。 解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)pXXXX的联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)pXXXX的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p。 2.2 设二维随机向量12()XX服从二元正态分布，写出其联合分布。 解：设12()XX的均值向量为12 μ，协方差矩阵为21122212，则其联合分布密度函数为 1/212221121122221221211( )exp()()22f xxμxμ。 2.3 已知随机向量12()XX的联合密度函数为 121212222[()()()()2()()]( ,)() ()dc xaba xcxa xcf xxbadc 其中1axb，2cxd。求 （1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； （3）判断1X 和2X 是否相互独立。 （1）解：随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； 112121222[()()()()2()()]()() ()dxcdc xaba xcxa xcfxdxbadc 12212222222()()2[()()2()()]() ()() ()ddccdc xa xba xcxa xcdxbadcbadc 121222202()()2[()2() ]() ()() ()dd ccdc xa xba txa t dtbadcbadc 22121222202()()[()2() ]1() ()() ()d cdcdc xa xba txa tbadcbadcba 所以 由于1X 服从均匀分布，则均值为2ba，方差为212ba。 同理，由于2X服从均匀分布2121,()0xxc dfxdc其它，则均值为2dc，方差为212dc。 （2 ）解：随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； 12cov(,)x x 12121212222[()()()()2()()]22() ()dbcadc xaba xcxa xcabdcxxdx dxbadc ()()36cd ba 1212cov(,)13xxx x （3 ）解：判断1X 和2X 是否相互独立。 1X 和2X 由于121212(,)()()xxf x xfxfx，所以不独立。 2 .4 设12(,,)pXXXX服从正态分布，已知其协方差矩阵为对角阵，证明其分量是相互独立的随机变量。 解： 因为12(,,)pXXXX的密度函数为 1/21111( ,...,)exp()()22ppf xx...
