弹性与塑性力学第2,3章习题答案

第二章 2.1（曾海斌）物体上某点的应力张量σij为σij=1003100031001000000（应力单位） 求出： （a）面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n=（1/2，1/2，1/2 ）； （b）应力主轴的方位； （c）主应力的大小； （d）八面体应力的大小； （e）最大剪应力的大小。 解答： (a)利用式（2.26）计算应力矢量的分量nTi，得 nT1=σ1jnj=σ11n1+σ12n2 +σ13n3 = 0 ;同样 nT2= jnj =272.47 nT3=σ3jnj =157.31 所以，应力矢量nT 的大小为 nT[(nT1 )2 +(nT2 )2+(nT3)2]1/2=314.62 (b)(c)特征方程：σ3—I1σ2 + I2σ—I3=0 其中I1 =σij 的对角项之和、I2 =σij 的对角项余子式之和、I3 =σij的行列式。 从一个三次方程的根的特征性可证明： I1 =σ1+σ2+σ3 I2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1 I3=σ1σ2σ3 其中得，σ1=400、σ2=σ3=0 是特征方程的根。 将σ1、σ2和σ3分别代入（2.43），并使用恒等式n12+ n22 + n32=1 可决定对应于主应力每个值的单位法线ni的分量（n1 、n2 、n3）： ni（1）=（0， ±0.866，±0.5） ni（2）=（0，  0.5，±0.866） ni（3）=（±1， 0，0） 注意主方向 2 和3 不是唯一的，可以选用与轴1 正交的任何两个相互垂直的轴。 (d）由式（2.96），可算 σotc=1/3（0+100+300）=133.3 τotc=1/3(90000+40000+10000+6*30000) 1/2=188.56 (e) 已经求得σ1=400、σ2=σ3=0，则有（2.91）给出的最大剪应力为τmax=200 2.2（曾海斌）对于给定的应力张量σij，求出主应力以及它们相应的主方向。 σij=4/114/5)22/(14/54/11)22/(1)22/(1)22/(12/3（应力单位） （a）从给定的σij和从主应力值σ1，σ2和σ3中确定应力不变量I1，I2和I3； （b）求出偏应力张量Sij； （c）确定偏应力不变量J1，J2和J3； （d）求出八面体正应力与剪应力。 解答：同上题2.1（a）（b）（c）方法得到σ1=4、σ2= 2 、σ3=1 对应于主应力每个值的单位法线ni的分量（n1 、n2 、n3）： ni（1）=（0， 21 ，±21 ） ni（2）=（±21 ，  0.5， 0.5） ni（3）=（±21 ， ±0.5，±0.5） （a）特征方程：σ3—I1σ2 + I2σ—I3=0 中I1 =σij 的对角项之和、I2 =σij 的对角项余子式之和、I3 =σij的行列式。 代入数据的：I1 =7；I2 =14；I3 =8 （b）偏应力张量由式子（2.119）得出Sij=σ12-...