第二章 2.1(曾海斌)物体上某点的应力张量σij为σij=1003100031001000000(应力单位) 求出: (a)面积单位上应力矢量的大小,该面元上的法线矢量为n=(1/2,1/2,1/2 ); (b)应力主轴的方位; (c)主应力的大小; (d)八面体应力的大小; (e)最大剪应力的大小。 解答: (a)利用式(2.26)计算应力矢量的分量nTi,得 nT1=σ1jnj=σ11n1+σ12n2 +σ13n3 = 0 ;同样 nT2= jnj =272.47 nT3=σ3jnj =157.31 所以,应力矢量nT 的大小为 nT[(nT1 )2 +(nT2 )2+(nT3)2]1/2=314.62 (b)(c)特征方程:σ3—I1σ2 + I2σ—I3=0 其中I1 =σij 的对角项之和、I2 =σij 的对角项余子式之和、I3 =σij的行列式。 从一个三次方程的根的特征性可证明: I1 =σ1+σ2+σ3 I2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1 I3=σ1σ2σ3 其中得,σ1=400、σ2=σ3=0 是特征方程的根。 将σ1、σ2和σ3分别代入(2.43),并使用恒等式n12+ n22 + n32=1 可决定对应于主应力每个值的单位法线ni的分量(n1 、n2 、n3): ni(1)=(0, ±0.866,±0.5) ni(2)=(0, 0.5,±0.866) ni(3)=(±1, 0,0) 注意主方向 2 和3 不是唯一的,可以选用与轴1 正交的任何两个相互垂直的轴。 (d)由式(2.96),可算 σotc=1/3(0+100+300)=133.3 τotc=1/3(90000+40000+10000+6*30000) 1/2=188.56 (e) 已经求得σ1=400、σ2=σ3=0,则有(2.91)给出的最大剪应力为τmax=200 2.2(曾海斌)对于给定的应力张量σij,求出主应力以及它们相应的主方向。 σij=4/114/5)22/(14/54/11)22/(1)22/(1)22/(12/3(应力单位) (a)从给定的σij和从主应力值σ1,σ2和σ3中确定应力不变量I1,I2和I3; (b)求出偏应力张量Sij; (c)确定偏应力不变量J1,J2和J3; (d)求出八面体正应力与剪应力。 解答:同上题2.1(a)(b)(c)方法得到σ1=4、σ2= 2 、σ3=1 对应于主应力每个值的单位法线ni的分量(n1 、n2 、n3): ni(1)=(0, 21 ,±21 ) ni(2)=(±21 , 0.5, 0.5) ni(3)=(±21 , ±0.5,±0.5) (a)特征方程:σ3—I1σ2 + I2σ—I3=0 中I1 =σij 的对角项之和、I2 =σij 的对角项余子式之和、I3 =σij的行列式。 代入数据的:I1 =7;I2 =14;I3 =8 (b)偏应力张量由式子(2.119)得出Sij=σ12-...