数值分析重点公式

第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12kbax  2）迭代法收敛阶： 1lim0ipiic，若1p  则要求01c 3）单点迭代收敛定理： 定理一：若当,xa b时， ( ),xa b且'( )1xl  ，,xa b ，则迭代格式收敛于唯一的根； 定理二：设( )x满足：①,xa b时， ( ),xa b， ②121212,,, ( )(),01x xa bxxl xxl 有 则对任意初值0,xa b迭代收敛，且： 110111iiiiixxxllxxxl 定理三：设( )x在 的邻域内具有连续的一阶导数，且'( )1  ，则迭代格式具有局部收敛性； 定理四：假设( )x在根 的邻域内充分可导，则迭代格式1( )iixx 是 P 阶收敛的( )()( )0,1,,1,( )0jPjP（Taylor 展开证明） 4）Newton 迭代法：1'( )( )iiiif xxxfx ，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理： 设( )f x 在有根区间,a b 上有二阶导数，且满足： ①：( ) ( )0f a f b ； ②：'( )0,,fxxa b； ③：'',,fxa b不变号 ④：初值0,xa b使得''( ) ( )0fx f x ； 则Newton 迭代法收敛于根 。 6）多点迭代法：1111111( )( )()( )()( )()()( )iiiiiiiiiiiiiiif xf xf xxxxxf xf xf xf xf xf xxx 收敛阶：152P 7）New ton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对New ton 法进行修改 ①：已知根的重数 r，1'( )( )iiiif xxxr fx （平方收敛） ②：未知根的重数：1''( )( ), ( )( )( )iiiiu xf xxxu xu xfx ， 为( )f x 的重根，则 为( )u x 的单根。 8）迭代加速收敛方法： 2211211212( )()iiiiiiiiiiix xxxxxxxxxx当 不 动 点迭代函 数( )x在  的 某 个 邻 域 内 具 有 二 阶导 数 ，'( )1,0L  平方收敛 9）确定根的重数：当 New ton 迭代法收敛较慢时，表明方程有重根 221121212112iiiiiiiiiiix xxxrxxx xxxx 10）拟 New ton 法 111111111111()()()()()( ()())()iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxA F xAxxF xF xAHAAAAxxH F xHF xF xxxHHH...