第8 章 常微分方程数值解 在描述系统的动态演变时，例如，物种的增长和蜕变，物体的运动，电路的振动瞬变，化学反应过程等，都能将其表示为以时间为变量的常微分方程或方程组。 物体冷却过程的数学模型可用下式表示： 它含有自变量、未知函数以及它的一阶导数，是一个常微分方程。在微分方程中我们称只有一个自变量函数的微分方程为常微分方程，自变量函数个数为两个或两个以上的微分方程为偏微分方程。给定微分方程及其初始条件，称为初值问题；给定微分方程及其边界条件，称为边值问题。 本章主要讨论常微分方程的初值问题： （8.1） 或记为 只有一些特殊形式的 ，才能找到它的解析解；对于大多数常微分方程的初值问题，主要用数值方法在计算机上求它的数值解。常微分方程初值问题的数值解是求在求解区间上剖分点列的数值解。在计算中约定表示常微分方程准确解的值，表示的近似值。本章介绍求解微分方程的差分数值方法。解常微分方程初值问题的主要手段是差分方法，这是一种通用性强适用面广的简单方法。 通常我们假定(8.1)中满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数，使对，有 则初值问题（8.1）的解存在且惟一。 8.1 欧拉（Euler）公式 8.1.1 基于差商的欧拉公式 对于常微分方程初值问题[式（8.1）]，在求解区间上作等距分割的剖分，步长，记。用数值微商的方法，即用差商近似微商数值求解常微分方程。 用向前差商近似 做出的在处的一阶向前差商式： 又，于是得到 而的近似值可按 或 求得。类似地，由 以及 得到计算 近似值的向前欧拉公式： （8.2） 由差商（差分）得到的方程（8.2）称为差分方程。 由直接算出值的计算格式称为显式格式，向前欧拉公式是显式格式。 欧拉方法的几何意义 以为斜率，通过点做一条直线，它与直线的交点就是。依此类推，是以为斜率过点的直线与直线的交点。欧拉法也称为欧拉折线法，如图 8.1 所示。 图 8.1 欧拉折线法 例 8 .1 假定某公司的净资产因资产本身产生了利息而以 4%的年利率增长，同时，该公司以每年 100 万的数额支付职工工资。净资产的微分方程： = 0.04－100 （t 以年为单位） 分别以初始值 1500 万，2500 万，3500 万，用欧拉公式预测公司24 年后的净资产趋势。 解：。 分别以1 5 0 0 ，2 5 0 0 ，3 5 0 0 代入，计算结果见表 8 .1 。 表 8 .1 计算结果 1 2 3 4 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 ...
