第8 章 常微分方程数值解 在描述系统的动态演变时，例如，物种的增长和蜕变，物体的运动，电路的振动瞬变，化学反应过程等，都能将其表示为以时间为变量的常微分方程或方程组
物体冷却过程的数学模型可用下式表示： 它含有自变量、未知函数以及它的一阶导数，是一个常微分方程
在微分方程中我们称只有一个自变量函数的微分方程为常微分方程，自变量函数个数为两个或两个以上的微分方程为偏微分方程
给定微分方程及其初始条件，称为初值问题；给定微分方程及其边界条件，称为边值问题
本章主要讨论常微分方程的初值问题： （8
1） 或记为 只有一些特殊形式的 ，才能找到它的解析解；对于大多数常微分方程的初值问题，主要用数值方法在计算机上求它的数值解
常微分方程初值问题的数值解是求在求解区间上剖分点列的数值解
在计算中约定表示常微分方程准确解的值，表示的近似值
本章介绍求解微分方程的差分数值方法
解常微分方程初值问题的主要手段是差分方法，这是一种通用性强适用面广的简单方法
通常我们假定(8
1)中满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数，使对，有 则初值问题（8
1）的解存在且惟一
1 欧拉（Euler）公式 8
1 基于差商的欧拉公式 对于常微分方程初值问题[式（8
1）]，在求解区间上作等距分割的剖分，步长，记
用数值微商的方法，即用差商近似微商数值求解常微分方程
用向前差商近似 做出的在处的一阶向前差商式： 又，于是得到 而的近似值可按 或 求得
类似地，由 以及 得到计算 近似值的向前欧拉公式： （8
2） 由差商（差分）得到的方程（8
2）称为差分方程
由直接算出值的计算格式称为显式格式，向前欧拉公式是显式格式
欧拉方法的几何意义 以为斜率，通过点做一条直线，它与直线的交点就是
依此类推，是以为斜率过点的直线与直线的交点
欧拉法也称为欧拉折线法，如图 8
