数列专题训练包括通项公式求法和前n项和求法(史上最全的方法和习题)

数列专题训练 1、数列的通项公式与前n项的和的关系 11,1,2nnnsnassn ( 数列{}na的前n项的和为12nnsaaa). 2、等差数列的通项公式 *11(1)()naanddnad nN； 3、等差数列其前n项和公式为 1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22d nad n. 4、等比数列的通项公式 1*11()nnnaaa qqnNq； 5、等比数列前n项的和公式为 11(1) ,11,1nnaqqsqnaq 或 11,11,1nnaa q qqsnaq . 常用数列不等式证明中的裂项形式: （1）(1111nnn(n+1)1111()1knkn(n+k); (2) 211111()1211kkk2k (3)211111111(1)(1)1kkkkkkkkk (4)1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn; (5) 111 !!1 !nnnn (6)212212(1)11nnnnnnnnn11(1)2n nn) 一.数列的通项公式的求法 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 例．等差数列 na是递增数列，前n项和为nS ，且931,,aaa成等比数列， 255aS．求数列 na的通项公式. 解：设数列 na公差为 )0(dd 931,,aaa成等比数列，∴9123aaa， 即)8()2(1121daadadad12  0d， ∴da 1„„„„„„„„„„„„① 255aS ∴211)4(2455dada„„„„② 由①②得：531 a，53d ∴nnan5353)1(53 2.公式法：已知nS （即12( )naaaf n）求na ，用作差法：11, (1), (2)nnnSnaSSn。 例．已知数列 na的前 n 项和nS 满足1,)1(2naSnnn．求数列 na的通项公式。 解：由1121111aaSa 当2n时，有,)1(2)(211nnnnnnaaSSa 1122( 1),nnnaa  ,)1(22221nnnaa„„，.2212aa 11221122( 1) 2( 1)2 ( 1)nnnnnaa     ].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211nnnnnnnnn 经验证11 a也满足上式，所以])1(2[3212nnna 3.作商法：已知12( )na aaf n求na ，用作商法：(1), (1)( ), (2)(1)nfnf nanf n 。 如数列}{na中，,11 a对所有的2n都有2321naaaan ...