数列通项公式经典例题解析

1 求数列通项公式 一、公式法 类型 1 )(1nfaann 解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法(逐差相加法)求解。 例 1 已知数列{}na满足123 2nnnaa  ，12a ，求数列{}na的通项公式。 解：123 2nnnaa  两边除以12n  ，得113222nnnnaa ，则113222nnnnaa ，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以 23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan ，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。 评注：本题解题的关键是把递推关系式123 2nnnaa  转化为113222nnnnaa ，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan ，进而求出数列{}na的通项公式。 练习题： 1 .已知数列{}na满足1132 313nnnaaa ，，求数列{}na的通项公式。 2 . 已知数列 na满足211 a，nnaann211，求na 例 2 已知数列{}na满足11211nnaana ，，求数列{}na的通项公式。 解：由121nnaan  得121nnaan  则 112322112()()()()[2(1) 1] [2(2) 1](2 2 1)(2 1 1) 12[(1)(2)2 1](1) 1(1)2(1) 12(1)(1) 1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn   2 所以数列{}na的通项公式为2nan。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan  转化为121nnaan  ，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。 二、累乘法 类型2 nnanfa)(1  解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例3 已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa ，，求数列{}na的通项公式。 解：因为112(1)53nnnanaa ，，所以0na ，则12(1)5nnnana ，故1321122112211(1) (2)2 1(1)12[2(1 1)5][2(2 1)5][2(2 1) 5 ][2(1 1) 5 ] 32[ (1)3 2] 533 25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn     所以数列{}na的通项公式为(1)123 25!.n nnnan  评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana 转化为12(1)5nnnana ，进而求出...