曾谨言量子力学导论习题答案

第一章 量子力学的诞生 1.1 设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， axaxxxV0,0,0,)( 试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2nna na /2 （1） 又据de Broglie 关系 /hp  （2） 而能量 ,3,2,12422/2/2222222222nmanamnhmmpE （3） 1.2 设粒子限制在长、宽、高分别为的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 cba,,解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为zyx,,轴方向，把粒子沿zyx,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于 x 方向，有 ,3,2,1,xxxnhndxp 即 （：一来一回为一个周期） hnapxx 2a2ahnpxx2/, 同理可得， , bhnpyy2/chnpzz2/, ,3,2,1,,zyxnnn 粒子能量 222222222222)(21cnbnanmpppmEzyxzyxnnnzyx ,3,2,1,,zyxnnn 1 2m1 .3 设质量为的粒子在谐振子势2221)(xmxV中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,,2,1,xVEmpnnhxdp )(xV解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 ax  （1） 其中由下式决定：a2221)(xmxVEax。 a 0 ax 由此得 2/2mEa  ， （2） ax即为粒子运动的转折点。有量子化条件 hnamamdxxamdxxmEmdxpaaaa2222222222)21(22 得mnmnha （3） 22代入（2），解出 ,3,2,1,nnEn （4） 积分公式： cauauauduuaarcsin2222222 1 .4 设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。 提示：利用 是平面转子的角动量。转子的能量。 ,,2,1,20nnhdp pIpE2/2解：平面转子的转角（角位移）记为 。 它的角动量（广义动量），是运动惯量。按量子化条件 .Ip p ,3,2,1,220mmhpdxpmhp ， 因而平面转子的能量 ImIpEm2/2/222， ,3,2,1m 第二章 波函数与Schrödinger 方程 2.1 设质量为的粒子在势场m)(rV  中运动。 （a）证明粒子的能量平均值为 ， wrdE 3Vmw**22  （能量...