1 / 4 解析不等式恒成立问题纵观近年来各地高考数学试题，有关不等式恒成立问题屡见不鲜，这类问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、知识交汇点多等特点.考题通常有两种设计方式： 一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的值或取值范围.解决这类问题的关键是转化，通过等价转化能使问题起到“柳暗花明”的功效.而等价转化过程往往渗透着换元、化归、数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法，其常用方法主要有：更换主元法、分离参数法、数形结合法、最值法等，笔者试图通过本文能对学生突破这一难点有所启迪. 一、更换主元法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数. 例 1.设不等式221(1)xm x对满足2,2m的一切实数 m 恒成立，求 x 的取值范围 . 解：设2()(1)(21),f mxmx则不等式221(1)xm x对满足2,2m的一切实数 m 恒成立()0f m对2,2m恒成立.当22m时，()0f m22(2)2(1)(21)0 ,( 2)2(1)(21)0fxxfxx即222210 ,2230xxxx解得131322,171722xxx或故 x 的取值范围是7131(,)22. 注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于x 的不等式讨论，此种解法因计算繁琐易出错；若变换一个角度，以m为变量，使2()(1)(21),f mxmx则问题转化为求一次函数（或常数函数）()f m 的值在2,2 内恒为负时，参数x 应满足的条件——“换位”思考优势明显. 二、分离参数法当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来，且分离后不等式另一边的函数（或代数式）的最值可求时，常用分离参数法. 例 2.已知函数( )ln()xf xea （ a 为常数）是实数集R上的奇函数，函数( )cosg xxx 在区2 / 4 间2,33上是减函数 . （Ⅰ）求 a 的值与的范围；（Ⅱ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有( )1g xt在2,33上恒成立，求实数t 的取值范围 . （Ⅲ）若0m，试讨论关于x 的方程2ln2( )xxexmf x的根的个数 . 解：（Ⅰ）、（Ⅲ）略（Ⅱ）由题意知，函数( )cosg xxx 在区间2,33上是减函数 . max1( )(),332g xg( )1g xt在2,33上恒成立11,32t132t(1)1,.32t注：此类问题可把要求的参变量分离出来，...
