解题思路点滴归纳与递推

解题思路点滴－－－ 归纳与递推归纳与递推是数学竞赛中考查的重要方法。其中归纳有完全归纳法（如枚举法） 和不完全归纳法；递推法有正向递推法，也有逆向递推法。例 1 在下面各列数中的横线上填上适当的数。（1）21 ，32 ，43 ，54 ，，76 ；（2）32 ，1，65 ，43 ，，23 ；（3）1，2，4，8，， 32；（4）1，10，19，28，，46；（5）1，3，7，13，，31；（6）1， 3，8，15，， 35；（7）1，3，4，7，，18。【分析与解】给数列填数问题的基本解法是按数据特点归纳出数据关系形成数列通项，或发现前后之间的递推关系，进一步按通项或由递推式填出横线上的数。（1）该数列的第n 项形如1nn，而横线上的是第5 项，故应填65 ；（2）按分母特点把各项还原成分数32 ，44 ，56 ，68 ，，812 故第 n 项形如22nn，横线上应填710 ；（3）把各项分解质因数得1，2，22， 23，，25；故第 n 项形如 2n－1，横线上的数＝ 24＝ 16。（4）易观察得：每项加上9 便得后面一项，故横线上的数是29＋ 9＝37。（5）设横线上的数是x，则将数列中各项与前项相减组成新数列得2，4，6，x－ 13，31－x。∴ x－13＝8，且 31－x＝10；故 x＝21。∴横线上应填21。（6）容易看出数列的第n 项形如 n2－1，横线上是第5 项，故应填24。（7）容易看出，每两项相加便得后面一项，故横线上的数是11。【评注】分析数据之间的关系，归纳出数列通项，或相邻项之间的递推关系，是解填数问题的常用方法。其中常用的技巧有：差分法、分数化法、分解质因数法、设未知数法等。例 2 数列 1，3，2，－ 1，－ 2，1，⋯，的第n 项 an及其后面两项an＋ 1，an＋2之间满足关系式 an＋2＝an＋1－an。求这个数列的前2000 项之和。（前 2000 项的和＝ 333×（ 1＋3＋2－1－3－2）＋ 1＋3＝4）例 3 求的个位数字。 （9）例 4 现有 100 个数按递推排列，其中第一个数是0，第二个数是2，并且从第二个数起每个数的三倍都等于其前后两个数之和，问第100 个数被 6 除所得余数是几（2）例 5 （1）平面上 5 条直线最多能把一个圆的内部分成几部分（16）（2）平面上 100 条直线最多能把一个圆分成多少部分（5051）例 6 平面上 100 个不同的圆最多把平面分成多少部分。（99092）例 7 王大爷卖西瓜，第一次卖了全部的一半又半个；第二次卖了余下的一半又半个；第三次卖了第二次余下的一半又半个；第四次卖了第三次余下的一半又半个。最...