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练习一1.什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？2.试导出计算积分10 (1,2,3,4)14nnxIdxnx的递推计算公式11 1()4nnIIn，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。解：111111110000141 ()14414414nnnnnnnxxxxxIdxdxxdxdxxxx11 1()4nnIIn10011 ln50.402144Idxx1021324311(1)0.150,(1)0.2134411(1)0.197,(1)0.20144IIIIIIII此算法是数值稳定的。3.试证明nTninixxxxxxR),,(,max211及.)(,max11nnijnjijniaAaAR证明：（1）令1maxriinxx1/1/1/1/111lim()lim[() ]lim[() ]limnnnpirppppppirrrrppppiiirrxxxxxxxnxxx即rxx又1/1/11lim()lim()nnppppirrppiixxx即rxxrxx⑵设1(,...)0nxxx，不妨设0A，班级学号姓名0114)1(...)(41eIIIIennnnnnn令11maxniji nja1111111maxmaxmaxmaxnnnijjijjiijininininjjjAxa xaxxax即对任意非零nxR ，有Axx下面证明存在向量00x，使得00Axx，设01ni jja，取向量01(,...)Tnxxx。其中0()(1,2,...,)ji jxsign ajn 。显然01x且0Ax 任意分量为0011nni jji jiiaxa，故有0011maxnnijji jiijAxa xa即证。4.已知6134A，1A___________ ，2A_______________ 。5.已知矩阵3 212 30103A， 试计算 A 的谱半径()A 。解：2321( )det()230(3)(64)0103AfIAmax35()35.A6.已知210121012A，试计算1||||A， ||||A， ||||FA，2||||A311311||||max||5ijjiAa解： （ ）3131||||max||5ijijAa1332211||||(|| )4FijijAa2||||()3TAA A7.11471236 ,0 ,_________ ;________.0811AXAAX则8.古代数学家祖冲之曾以113355 作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？解：13250.31415929210133x61 73550.266100.510113xx该近似值具有7 为有效数字。9.若 T(h)逼近其精确值T 的截断误差为12)(:)(iii hAThTTR其中，系数iA 与 h 无关。试证明由,2,1,14)()2(4)()()(110mhThThTmhThTmmmm所定义的 T 的逼近序列)}({hTm的误差为122)()(immimhAThT，其中诸)(miA是与 h 无关的常数。证明：当m=0 时20i 1ThT=iih左边（ ）-右边设 m=k 时等式成立，即( )22ki 1ThT=kkiih（ ） -当 m=k+1 时1( )22()221111114[()][( )]4()( )22ThT==4141kkkikkikiikkiikkkhhTThTThTT（ ） -( )2(1) 21( )kkiiih即证。练习二1.试构造迭代收敛的公式求解下列方程：班级学号姓名（1）4sincosxxx; (2)xx24。解：（ 1）迭代公式1cossincossin, ( )44kkkxxxxxx，'( )1x...