证明不等式的基本方法

12．4证明不等式的基本方法[知识梳理 ] 1．证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．2．三个正数的算术 -几何平均不等式(1)定理：如果 a，b，c∈R＋那么a＋b＋c3≥ 3 abc，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．即三个正数的算术平均a＋b＋c3不小于它们的几何平均3 abc. (2)基本不等式的推广对于 n 个正数 a1，a2，⋯， an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即a1＋a2＋⋯＋ ann≥ n a1a2⋯an，当且仅当 a1＝a2＝⋯＝ an时，等号成立．3．柯西不等式(1)设 a，b，c，d 均为实数，则 (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当 ad＝bc时等号成立．(2)若 ai，bi(i∈N*)为实数，则i ＝1na2ii＝1nb2i ≥i ＝1naibi2，当且仅当 b1a1＝b2a2＝⋯＝ bnan(当 ai＝0 时，约定 bi＝0，i＝1,2，⋯， n)时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β 为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α · β|，当且仅当 α，β 共线时等号成立．[诊断自测 ] 1．概念思辨(1)用反证法证明命题“ a，b，c 全为 0”时，假设为“ a，b，c 全不为 0”．() (2)若x＋2yx－y >1，则 x＋2y>x－y.() (3)|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.() (4)若实数 x，y 适合不等式 xy>1，x＋y>－2，则 x>0，y>0.() 答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．教材衍化(1)(选修 A4－5P23T1)不等式：①x2＋3>3x；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③ba＋ab≥2，其中恒成立的是 () A．①③B．②③C．①②③D．①②答案D 解析由①得 x2＋3－3x＝ x－322＋34>0，所以 x2＋3>3x；对于②，因为 a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以不等式成立；对于③，因为当ab<0 时，ba＋ab－2＝ a－b2ab<0，即 ba＋ab<2.故选 D. (2)(选修 A4－5P25T2)已知 a，b，c 是正实数，且 a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为 ________．答案9 解析把 a＋b＋c＝1 代入1a＋1b＋1c，得a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ ba＋ab ＋ ca＋ac ＋ cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．3．小题热身(1)(2017 ·聊城模拟 )下列四个不等式： ①logx10＋lg x≥2(x>1)；②|a－b|<|a|＋|b|；③ ba＋ab ≥2(ab≠0)；④|x－1|＋|x－2|≥1，其中恒成立的个数是 () A．1 B．2 C．3 D．4 答案C 解析logx10＋lg x＝ 1lg x＋lg x≥2(x>1)，①正确．ab≤0 时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；因为 ab≠0，ba与ab同号，所以...