试验报告七常微分方程初值问题的数值解法

课程名称数值计算方法实验项目名称常微分方程初值问题的数值解法实验成绩指导老师（签名）日期 2015/12/16 一. 实验目的和要求1． 用 Matlab 软件掌握求微分方程数值解的欧拉方法和龙格－库塔方法；2． 通过实例学习用微分方程模型解决简化的实际问题。二. 实验内容和原理编程题 2-1 要求写出 Matlab 源程序 (m 文件 ) ，并有适当的注释语句；分析应用题2-2 ，2-3 ，2-4 ，2-5 要求将问题的分析过程、Matlab 源程序和运行结果和结果的解释、算法的分析写在实验报告上。2-1 编程编写用向前欧拉公式和改进欧拉公式求微分方程数值解的Matlab 程序，问题如下：在区间,a b 内 (1)N个等距点处，逼近下列初值问题的解，并对程序的每一句添上注释语句。0( ,)( )yf x yaxby ay Euler 法 y=euler(a,b,n,y0,f,f1,b1)改进 Euler 法 y=eulerpro(a,b,n,y0,f,f1,b1)2-2 分析应用题假设等分区间数100n，用欧拉法和改进欧拉法在区间[0,10]t内求解初值问题( )( )20(0)10y ty ty并作出解的曲线图形，同时将方程的解析解也画在同一张图上，并作比较， 分析这两种方法的精度。2-3 分析应用题用以下三种不同的方法求下述微分方程的数值解，取10h201(0)1yyxxy画出解的图形，与精确值比较并进行分析。1）欧拉法；2）改进欧拉法；3）龙格－库塔方法；2-4 分析应用题考虑一个涉及到社会上与众不同的人的繁衍问题模型。假设在时刻 t ( 单位为年 ) ，社会上有人口( )x t 人，又假设所有与众不同的人与别的与众不同的人结婚后所生后代也是与众不同的人。 而固定比例为r 的所有其他的后代也是与众不同的人。如果对所有人来说出生率假定为常数 b ，又如果普通的人和与众不同的人的婚配是任意的，则此问题可以用微分方程表示为：( )(1( ))dp trbp tdt其中变量( )( )( )ip tx tx t 表示在时刻 t 社会上与众不同的人的比例，( )ix t 表示在时刻 t 人口中与众不同的人的数量。1）假定(0)0.01,0.02pb和0.1r，当步长为1h年时，求从0t到50t解( )p t 的近似值，并作出近似解的曲线图形。2）精确求出微分方程的解( )p t ，并将你当50t时在分题 (b) 中得到的结果与此时的精确值进行比较。【MATLAB相关函数 】求微分方程的解析解及其数值的代入 dsolve(‘egn1’， ‘egn2’， L‘ x ’) subs (expr, {x,y,⋯ }, {x1,y1,⋯} )其中‘ egn i ’表示第 i 个方程，‘x ’表示微分方程中的自...