泛函分析第3章连续线性算子与连续线性泛函

第三章 连续线性算子与连续线性泛函 第3 章 连续线性算子与连续线性泛函 本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach 空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach 定理。他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。 3.1 连续线性算子与有界线性算子 在线性代数中，我们曾遇到过把一个 n 维向量空间nE 映射到另一个 m 维向量空间mE 的运算，就是借助于m 行 n 列的矩阵 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa  对nE 中的向量起作用来达到的。同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5 章介绍。 [定义 3 .1 ] 由赋范线性空间X 中的某子集 D 到赋范线性空间Y 中的映射T称为算子，D 称为算子T 的定义域，记为  D T ，为称像集 ,y yTx xD T为算子的值域，记作  T D 或TD 。 若算子T 满足： （1）  ,T xyTxTyx yD T （2） (),TxTxF xD T 称T 为线性算子。对线性算子，我们自然要求  T D 是X 的子空间。特别地，如果T 是由 X 到实数（复数）域 F 的映射时，那么称算子T 为泛函。 例 3 .1 设 X 是赋范线性空间， 是一给定的数，映射:T xx是X 上的线性算子，称为相似算子；当1  时，称T 为单位算子或者恒等算子，记作I 。 例 3 .2 ,xC a b ，定义  taTx txd  由积分的线性知，T 是,C a b 到,C a b 空间中的线性算子。若令   ,bafxxdxC a b  应用泛函分析(第二版) 则f 是,C a b 上的线性泛函。 [定义 3.2] 设,X Y 是两个赋范线性空间， :T XX是线性算子，称T 在 x 点连续的，是指若 ,nnxX xx，则 nTxTx n  ；若T 在 X 上每一点都连续，则称T 在 X 上连续；称T 是有界的，是指T 将 X 中的有界集映成Y 中有界...