2024年空间向量知识点与题型归纳总结VIP免费

空间向量知识点与题型归纳总结知识点精讲一、空间向量及其加减运算1．空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是,终点是,则向量也可以记作，其模记为或.2.零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，.模为１的向量称为单位向量.3．相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.与向量长度相等而方向相反的向量,称为的相反向量,记为.4．空间向量的加法和减法运算(1),.如图8-１５2所示.（2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律，二、空间向量的数乘运算1.数乘运算实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时,与向量方向相同;当时，向量与向量方向相反.的长度是的长度的倍.2．空间向量的数乘运算满足分配律及结合律，.3．共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,平行于,记作.4．共线向量定理对空间中任意两个向量,,的充要条件是存在实数,使.5.直线的方向向量如图8-１53所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线.对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量,在上取,则式①可化为②①和②都称为空间直线的向量表达式，当,即点是线段的中点时,,此式叫做线段的中点公式.6．共面向量如图８-154所示，已知平面与向量，作,如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面.平行于同一平面的向量,叫做共面向量.7.共面向量定理如果两个向量,不共线，那么向量与向量,共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.推论:(1)空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式.(２)已知空间任意一点和不共线的三点，，,满足向量关系式(其中)的点与点，,共面;反之也成立.三、空间向量的数量积运算1.两向量夹角图8-154已知两个非零向量,,在空间任取一点，作,,则叫做向量，的夹角,记作,通常规定，如果，那么向量,互相垂直,记作．2.数量积定义已知两个非零向量，,则叫做，的数量积,记作,即.零向量与任何向量的数量积为0，特别地,.3.空间向量的数量积满足的运算律:,(交换律）；（分配律)．四、空间向量的坐标运算及应用(1）设，,则;;;；;.(2)设，，则.这就是说,一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.（３)两个向量的夹角及两点间的距离公式.①已知,,则;；；；②已知，,则，或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.(４）向量在向量上的射影为.（5)设是平面的一个法向量，,是内的两条相交直线,则，由此可求出一个法向量（向量及已知）.(6)利用空间向量证明线面平行：设是平面的一个法向量,为直线的方向向量,证明,（如图８－１55所示）.已知直线（),平面的法向量，若,则.（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线中各取一个方向向量,，只要证明，即.(８)利用空间向量证明线面垂直:即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.（9)证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.(10）空间角公式.①异面直线所成角公式:设,分别为异面直线,上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则.②线面角公式:设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小,则.③二面角公式：设，分别为平面,的法向量，二面角的大小为,则或（需要根据具体情况判断相等或互补)，其中.（11)点到平面的距离为，,为平面的法向量，则.题型归纳及思路提示题型1空间向量及其运算图8-155思路提示空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算,可以类比平面向量的运算法则.一、空间向量的加法、减法、数乘运算例8.４1如图8-1５6所示，已知空间四边形,点分别为，的中点,且,,，用，,表示，则.解析,,.变式1如图８...