量子力学试题及答案

2002 级量子力学期末考试试题和答案B 卷一、（共 25 分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4 分）2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6 分）3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4 分）4、在一维情况下，求宇称算符P?和坐标 x 的共同本征函数。（6 分）5、简述测不准关系的主要内容， 并写出时间 t 和能量 E 的测不准关系。（5 分）二、（15 分）已知厄密算符BA ?,?，满足1??22BA，且0????ABBA，求1、在 A 表象中算符 A?、 B?的矩阵表示；2、在 A 表象中算符 B?的本征值和本征函数；3、从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵S。三、（15 分）线性谐振子在0t时处于状态)21exp(3231)0,(22xxx，其中， 求1、在0t时体系能量的取值几率和平均值。2、0t时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、（15 分）当为一小量时，利用微扰论求矩阵2330322021的本征值至的二次项，本征矢至的一次项。五、（10 分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用 . 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成 ? 一、 1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况； 将波函数中坐标变量改变符号， 若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：)()()()(2112212211qqqqS4、宇称算符 P?和坐标 x 的对易关系是：PxxP?2],?[，将其代入测不准关系知，只有当0?Px时的状态才可能使P?和 x同时具有确定值， 由)()(xx知，波函数)(x 满足上述要求，所以)(x 是算符 P?和 x 的共同本征函数。5、设 F? 和 G? 的对易关系k?iF?G?G?F?， k 是一个算符或普通的数。以F 、 G 和k 依次表示 F? 、 G? 和 k 在态中的平均值，令FF?F?，GG?G?，则有4222k)G?()F?(，这个关系式称为测不准关系。时间 t 和能量 E 之间的测不准关系为：2Et二、1、由于1?2A，所以算符 A?的本征值是1，因为在 A 表象中，算符 A?的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符 A?的矩阵是：1001)(? AA设在A 表象中算符B? 的矩阵是22211211)(?bbbbAB，利用0????ABBA得：02211bb； 由 于1?2B， 所 以002112bb002...