模拟试卷一一、填空题（每小题3分，满分18分）1、若函数,则=.2、设函数,则=.3、交换积分次序:=.4、曲面包含在柱面内的面积可用二次积分表示为(不必具体计算).5、已知,,则=.6、母线平行于轴，准线为两曲面与的交线的柱面方程为二、单项选择题（每小题3分，满分12分）1、在点的偏导数及存在是在该点可微的().A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件2、函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为().A.B.C.D.3、若在处收敛,则此级数在处().A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性不能确定4、设为；为且,则使成立的充分条件是().(A)(B)(C)(D)三、计算下列各题（每小题7分，满分49分）1、设,其中具有二阶连续偏导数,求,,.2、求曲面在点处的法线方程.3、计算.4、计算三重积分，其中是由曲面与所围成的闭区域.5、求幂级数的收敛半径、收敛域及和函数.6、将函数展开为的幂级数.7、过点且与直线：，：平行的平面方程。四、应用题（每小题8分，满分16分）1、求旋转椭球面在第一卦限的一点,使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小.2、设球体占有闭区域,它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方,试求这球体的质量.五、证明题（5分）若收敛,试证也收敛.模拟试卷一答案一、1、；2、；3、；4、(或)；5、；6、.二、1、；2、；3、；4、.三、1、解=,(2分)=.(4分)=(6分)=.(7分)2、解设,(1分)则曲面在点的法向量为,(5分)所以,所求法线方程为.(7分)3、解原式==(3分)==(5分)=.(7分)4、解由及中消去得,因而在面上的投影区域为:.(2分)原式=(4分)==(6分)=.(7分)5、解收敛半径.(1分)当时,原级数为,收敛;当时,原级数为,发散.所以,原级数的收敛域为:.(3分)设,.则当时,======.(6分)当时,.(7分).6、解=(3分)==.(5分)展开域为即.(7分)7、解的方向向量，（1分）的方向向量可取，（3分）所求平面的法向量可取，（5分）故的方程为或（6分）(7分)四、1、解曲面位于第一挂限部分上任一点处的切平面方程为,(2分)则它在三个坐标轴上的截距分别为,,.(3分)所以设.(5分)由(7分)解得,.因为驻点惟一,所以即为所求的点(8分)2、解密度函数为,(1分)则球体的质量为==(2分)=(5分)==(7分)===.(8分)五、证,.(2分)由极限的性质知,,当时,有,而,(4分)故由比较判别法知,收敛.(5分)
