. . 习题 4 以下如果没有指明变量t 的取值范围，一般视为Rt，平稳过程指宽平稳过程。1.设UttXsin)(，这里 U 为)2,0(上的均匀分布 .（a）若,2,1t，证明},2,1),({ttX是宽平稳但不是严平稳，（b）设),0[t，证明}0),({ttX既不是严平稳也不是宽平稳过程.证明：（a）验证宽平稳的性质,2,1,0)cos(2121)sin()sin()(2020?tUttdUUtUtEtEX))cos()(cos(21)sin(sin))(),((UstUstEUsUtEsXtXCOV?tUststUstst21}])[cos(1])[cos(1{212020?st,021UtEsin))(),((2tXtXCOV(b) ,)),2cos(1(21)(有关与ttttEX.)2sin(8121DX(t)有关，不平稳，与 ttt2.设},2,1,{nX n是平稳序列，定义,2,1},,2,1,{)(inXin为,,)1(1)1()2(1)1(nnnnnnXXXXXX，证明：这些序列仍是平稳的.证明：已知，)(),(,,2tXXCOVDXmEXttnnn2121)1(1)1()1(2)(,0nnnnnnXXDDXEXEXEX)1()1()(2),(),(),(),(),(),(111111)1()1(tttXXCOVXXCOVXXCOVXXCOVXXXXCOVXXCOVntnntnntnntnnntntnntn显然，)1(nX为平稳过程 .同理可证，,,)3()2(nnXX亦为平稳过程 .. . 3.设12()nnkkkkZa nu这里k 和ka 为正常数， k=1 ，....n; 1,... nuu 是（ 0,2）上独立均匀分布随机变量。证明{,0,1,2,...}nxn是平稳过程。证明： EnX =12cos()nkkkkEa nu，cos()kkEa nu=20 1/ 2cos()kkka nudu =201/ 2sin() |kka nu=0D[cos()kka nu]=1/2-cos(22)1/ 2kkEa nucov (cos(),cos(())kkkka nuantu)=cos()kkEa nucos((1)kkEanu)=1/2coska tcov(cos(),cos())0,()kklla nua nuklEnX=0,D(nX )=22)11.2(cos()nnkkkkkkDa nu.为常数11cov(,)..2.cov[cos(()),cov()]nnn tnklkkllKlxxantua nu=21.2.1/ 2.cos()nkkka t只与 t 有关，与 n 无关。从而知道 {nX .n=0,1,2 ⋯.}为宽平稳的。4.设kAk1,2...nkn是 个实随机变量；W ，k=1,2 ⋯n 是 n 个实数。试问kA 与kW 之间应满足这样的条件才能使：21( )j =1njwtkkZ tA e是一个复的平稳过程。（）Solution:1knjw tkkEz kEAe常数,要求0kEA11klnnjtjtklklEz tz tE A Ae常数要求0,klE A Akl. . 5.设,1,2,...nx n是 一 列 独 立 同 分 布 随 机 变 量 序 列 ，1nP xp ，11,1,2,...nP xp n令010,,1,2,...nnnkxssnn求,1,2,...ns n的协方差函数和自相关函数，p 取何值时，此序列为平稳序列？Solution :2222221,1112112141nnnnExpDxExExpppppp2111,,1nnmnkkE x xpnm EsExpnn协方差函数,cov,sn mnRnm nss1111,cov,n m...
