随机变量的概念及离散型随机变量详解VIP专享VIP免费

第2章随机变量及其分布§2.1随机变量一、随机变量概念的引入在上一章里，我们研究了随机事件及其概率，细心的同学可能注意到，在某些例子中，随机事件和实数之间存在着某种客观的联系。例1：抛掷一枚均匀的骰子，观察其出现的点数.“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现4点”“出现5点”“出现6点”X=1X=2X=3X=4X=5X=6S记X=出现点数“出现正面”“出现反面”例2：抛掷一枚均匀的硬币，观察出现哪一面.在另外一些例子中，随机事件与实数之间虽然没有上述那种“自然的”联系，但是，我们可以人为地给它们建立起一个联系.Y=1Y=0SY在上述的例子中，变量X和Y有个特点是，这两个变量取什么值，在每次试验之前是不能确定的，因为它们的取值依赖于试验的结果.也就是说，它们的取值是随机的.人们常常称这种变量为随机变量.由上面的例子可知，有了随机变量，至少使随机事件的表示在形式上简洁得多了.这只是一个方面，我们在以后的讨论中，会看到引入“随机变量”这一概念还有更为深远的意义.二、随机变量的概念在例1中，对每一个试验结果，“自然地”对应着一个实数，而在例2中，这种对应关系是人为地建立起来的。由此可见，无论是哪一种情形，所谓随机变量，不过是试验结果（即样本点）和实数之间的一个对应关系，这与我们熟知的“函数”概念在本质上一回事.定义：设随机试验的样本空间为S，称定义在样本空间S上的实值单值函数X=X(w)为随机变量.SXR12)(1X)(2X3一对一或多对一注意：注意：（（11）随机变量通常用大写字母）随机变量通常用大写字母X,Y,ZX,Y,Z或希腊字母或希腊字母等表示；而表示随机变等表示；而表示随机变量所取值时，一般采用小写字母量所取值时，一般采用小写字母x,y,zx,y,z等等..,（（22）随机变量与高等数学中函数的比较：①随机）随机变量与高等数学中函数的比较：①随机变量的定义域为变量的定义域为S,S,值域为值域为RR；②随机变量的取值范；②随机变量的取值范围在试验之前就能确定，但不能预先肯定它将取哪围在试验之前就能确定，但不能预先肯定它将取哪个值；③由于试验结果（即随机事件）的出现具有个值；③由于试验结果（即随机事件）的出现具有一定的概率，故随机变量取每个值和每个确定范围一定的概率，故随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率内的值也有一定的概率..例1：在抛掷一枚硬币进行打赌时，若规定出现正面时抛掷者赢1分，出现反面时输1分.则其样本空间为S={正面，反面}正面，反面，则11-{X记X：赢钱数正面反面X1-1或例2：在将一枚硬币抛掷三次，观察正面（H）,反面（T）出现情况的试验中，记X：正面出现的次数.则:HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX32221110则:{X=3}={X=2}={X≤1}=→P{X=3}=1/8{HHH}→P{X=2}=3/8{HHT,HTH,THH}→P{X≤1}=4/8=1/2{HTT,THT,TTH,TTT}例3：在测试灯泡寿命的试验中，每一个灯泡的实际使用寿命可能是中任何一个实数，故样本空间为),0[S={t|t≥0}若X：灯泡寿命，则X=X(t)=t是随机变量.SXt≥0t三、随机变量的分类根据随机变量取值方式的不同，可分为离散型和非离散型（1）若随机变量可能取的值是可数有限个或可列无穷多个，则称为离散型随机变量.如例1，例2.例：某一城市每天发生火灾的次数为X,则X:0,1,2,3，…(可列无穷多个)（2）若随机变量的取值可以充满某个区间，则称为非离散型随机变量.非离散型随机变量的情况比较复杂，其中最重要也是最常遇到的是连续型随机变量，如例3.本书只研究离散型和连续型随机变量两种.§2.2离散型随机变量及其概率分布定义：如果随机变量X所有可能取的值只有有限个或可列无限多个(即可以和自然数集},,,2,1{nN中的元素1-1对应),则称X为离散型随机变量.一、离散型随机变量及其概率分布设离散型随机变量X所有可能取的值为,,21xx,则X取值为ix的概率iipxXP)(,,2,1i.称为离散型随机变量X的概率分布或分布律.分布律还可以简单地表示为：Xx1x2…xi…Pp1p2…pi…分布律具有以下性质:，，21,0.1ipi1.21iip例1:实验室共有40台同类仪器,其中有5台仪器不能正常工作.某班实验课随机取其中的34台做实验,求取到的不能正常工作的仪器...