特征值与特征向量定义与计算

特征值与特征向量 特征值与特征向量的概念及其计算 定义1. 设A 是数域P 上的一个n 阶矩阵， 是一个未知量， 称为A 的特征多项式，记 ()=| E-A|，是一个P 上的关于  的n 次多项式，E 是单位矩阵。 ()=| E-A|=n+1n-1+…+n= 0 是一个n 次代数方程，称为A的特征方程。 特征方程 ()=| E-A|=0 的根 (如：0) 称为A 的特征根(或特征值)。 n 次代数方程在复数域内有且仅有 n 个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A 有关，与数域P 也有关。 以 A 的特征值 0代入 (E-A)X= ，得方程组 (0E-A)X=，是一个齐次方程组，称为A 的关于0的特征方程组。因为 |0E-A|=0，(0E-A)X= 必存在非零解 X(0) ，X(0) 称为A 的属于 0的特征向量。所有 0的特征向量全体构成了 0的特征向量空间。 一. 特征值与特征向量的求法 对于矩阵A，由AX=0X，0EX=AX，得： [0E-A]X= 即齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是： 即说明特征根 是特征多项式 |0E-A| =0 的根，由代数基本定理 有n 个复根 1, 2,…, n，为 A 的n 个特征根。 当特征根 i (I=1,2,…,n)求出后，(iE-A)X= 是齐次方程，i均会使 |iE-A|=0，(iE-A)X= 必存在非零解，且有无穷个解向量，(iE-A)X= 的基础解系以及基础解系的线性组合都是 A 的特征向量。 例 1. 求矩阵 的特征值与特征向量。 解：由特征方程 解得 A 有 2 重特征值 1=2=-2，有单特征值 3=4 对于特征值 1=2=-2，解方程组 (-2E-A)x= 得同解方程组 x1-x2+x3=0 解为 x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量) 分别令自由未知量 得基础解系 所以A 的对应于特征值 1=2=-2 的全部特征向量为 x=k11+k22 (k1,k2不全为零) 可见，特征值 =-2 的特征向量空间是二维的。注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数特征根的重数。 对于特征值 3=4，方程组 (4E-A)x= 得同解方程组为 通解为 令自由未知量 x3=2 得基础解系 所以A 的对于特征值 3=4 得全部特征向量为 x= k3 3 例2 . 求矩阵 的特征值与特征向量 解：由特征方程 解得A 有单特征值 1=1，有 2 重特征值 2=3=0 对于 1=1，解方程组 (E-A) x =  得同解方程组为 同解为 令自由未知量 x3=1，得基础解系 所以A 的...