创新引领微课破解有关x与ex,lnx的组合函数的金钥匙

破解有关 x 与 ex，ln x 的组合函数的金钥匙微点聚焦突破有关 x 与 ex，ln x 的组合函数是高考的常考内容，常将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)等.如 2019 年全国Ⅰ卷 T13 是以 x 与 ex 的组合函数为载体，考查切线方程的求解，2019 年全国Ⅲ卷 T6 是以 x与 ex，ln x 的组合函数为载体，考查导数的几何意义，2018 年全国Ⅱ卷 T3 是以x 与 ex 的组合函数为载体，考查函数的图象的识别，2019 年天津卷 T20 以 x 与ln x，ex 的组合函数为载体考查函数的零点与不等式证明.预计今年高考对有关 x 与 ex，ln x 的组合函数的考查，除了延续往年的命题形式，还会更着眼于知识点的巧妙组合，突出对数学思维能力、数学核心素养的考查.类型一构造函数ln x【例 1】 (2020·成都七中检测)已知函数 f(x)＝ax－ x ，a∈R .(1)若 f(x)≥0，求 a 的取值范围；(2)若 y＝f(x)的图象与直线 y＝a 相切，求 a 的值.解(1)由题易知，函数 f(x)的定义域为(0，＋∞).ln x由 f(x)≥0，得 ax－ x ≥0，ln xln x所以 ax≥ x ，又 x>0，所以 a≥ x2 .1－2ln xln x令 g(x)＝ x2 ，则 g′(x)＝x3.令 g′(x)>0，得 0 e.所以当 0 e时，g(x)单调递减.1所以当 x＝ e时，g(x)取得最大值 g( e)＝2e，1 1所以 a≥2e，即 a 的取值范围是2e，＋∞.(2)设 y＝f(x)的图象与直线 y＝a 相切于点(t，a)，f（t）＝a，依题意可得f′（t）＝0.ln tat－t ＝a，1－ln x因为 f′(x)＝a－x2，所以1－ln ta－t2＝0，消去 a 可得 t－1－(2t－1)ln t＝0.(*)1令 h(t)＝t－1－(2t－1)ln t，则 h′(t)＝t－2ln t－1，易知 h′(t)在(0，＋∞)上单调递减，且 h′(1)＝0，所以当 00，h(t)单调递增，当 t>1 时，h′(t)<0，h(t)单调递减.所以当且仅当 t＝1 时，h(t)＝0，即(*)式成立，1－ln 1所以 a＝12＝1.思维升华1.求解有关 x 与 ex，x 与 ln x 的组合函数问题，要把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理；若函数最值不易求解时，可重新分拆、组合、构建新函数，然后借助导数研究函数的性质来求解.ln xln x2.本例中(1)先将不等式 f(x)≥0 转化为 a≥...