破解有关 x 与 ex,ln x 的组合函数的金钥匙微点聚焦突破有关 x 与 ex,ln x 的组合函数是高考的常考内容,常将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起,发挥导数的工具作用,应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)等.如 2019 年全国Ⅰ卷 T13 是以 x 与 ex 的组合函数为载体,考查切线方程的求解,2019 年全国Ⅲ卷 T6 是以 x与 ex,ln x 的组合函数为载体,考查导数的几何意义,2018 年全国Ⅱ卷 T3 是以x 与 ex 的组合函数为载体,考查函数的图象的识别,2019 年天津卷 T20 以 x 与ln x,ex 的组合函数为载体考查函数的零点与不等式证明.预计今年高考对有关 x 与 ex,ln x 的组合函数的考查,除了延续往年的命题形式,还会更着眼于知识点的巧妙组合,突出对数学思维能力、数学核心素养的考查.类型一构造函数ln x【例 1】 (2020·成都七中检测)已知函数 f(x)=ax- x ,a∈R .(1)若 f(x)≥0,求 a 的取值范围;(2)若 y=f(x)的图象与直线 y=a 相切,求 a 的值.解(1)由题易知,函数 f(x)的定义域为(0,+∞).ln x由 f(x)≥0,得 ax- x ≥0,ln xln x所以 ax≥ x ,又 x>0,所以 a≥ x2 .1-2ln xln x令 g(x)= x2 ,则 g′(x)=x3.令 g′(x)>0,得 0 e.所以当 0 e时,g(x)单调递减.1所以当 x= e时,g(x)取得最大值 g( e)=2e,1 1所以 a≥2e,即 a 的取值范围是2e,+∞.(2)设 y=f(x)的图象与直线 y=a 相切于点(t,a),f(t)=a,依题意可得f′(t)=0.ln tat-t =a,1-ln x因为 f′(x)=a-x2,所以1-ln ta-t2=0,消去 a 可得 t-1-(2t-1)ln t=0.(*)1令 h(t)=t-1-(2t-1)ln t,则 h′(t)=t-2ln t-1,易知 h′(t)在(0,+∞)上单调递减,且 h′(1)=0,所以当 00,h(t)单调递增,当 t>1 时,h′(t)<0,h(t)单调递减.所以当且仅当 t=1 时,h(t)=0,即(*)式成立,1-ln 1所以 a=12=1.思维升华1.求解有关 x 与 ex,x 与 ln x 的组合函数问题,要把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理;若函数最值不易求解时,可重新分拆、组合、构建新函数,然后借助导数研究函数的性质来求解.ln xln x2.本例中(1)先将不等式 f(x)≥0 转化为 a≥...