（第1 页） 立体几何专题:球的组合体 一、棱锥的内切、外接球问题 例 1.正四面体的棱长为 a，则其外接球和内切球的半径是多少？ 例 2．设棱锥ABCDM 的底面是正方形，且MDMA ，ABMA ， 如果AMD的面积为 1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径. 练习：一个正四面体内切球的表面积为 3，求正四面体的棱长。 二、球与棱柱的组合体问题 1.正方体的内切球： 球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为 a，球半径为 R 。 如图 3，截面图为正方形 EFGH 的内切圆，得2aR ； 2.与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图 4作截面图，圆O 为正方形 EFGH 的外接圆，易得aR22。 图 3 图 4 图 5 图 2 （第2 页） 3.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形CCAA11的外接圆，易得aOAR231。 例3.在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且aPCPBPA,那么这个球的表面积是______. 练习：一棱长为a2的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。 4．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题 正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。 例4.已知正三棱柱111CBAABC 的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱的5个面都相切，求球1O 与球2O 的体积之比与表面积之比。 练习：正四棱柱1111DCBAABCD 的各顶点都在半径为R 的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。（答案为：224R ） 【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。 图6 （第3 页） 练习题： 1、 已知三棱锥 PABC的四个顶点均在半径为 1的球面上，且满足 PA 、PB 、PC 两两垂直，当PC AB 取最大值时，三棱锥OPAB（O 为球心）的高为_____。 2、 在平行四边形 ABCD 中，0AB BD ，222||||6ABBD，若将ABD沿 BD 折成直二面角ABDC，则三棱锥 ABCD外接球的表面积是____。 3、 在四面体 ABCD中，4ABCD...
