理论力学综合问题

129 综合问题习题 综-1 滑块M 的质量为m，在半径为R 的光滑圆周上无摩擦地滑动。此圆周在铅直面内，如图所示。滑块M 上系有一刚性系数为k 的弹性绳 MOA，此绳穿过光滑的固定环 O，并固结在点 A。已知当滑块在点 O 时线的张力为零。开始时滑块在点 B，处于不稳定的平衡状态；当它受到微小振动时，即沿圆周滑下。试求下滑速度 v 与 角的关系和圆环的支反力。 解：滑块M 在下降至任意位置时的运动分析及受力分析如图（a）所示。滑块M 在下降过程中 v 与 的关系可由动能定理确定： 222221)sin2()2(21)sin1(2mvRRkRmg 解得 )1(cos2mgkRgRv （1） 滑块M 的法向运动微分方程为 )2180cos()90cos(sin2mgkRRmvF2N  把式（1）代入上式，化简得 22Ncos)(42cossin2kRmgmgkRF 综-3 一小球质量为m，用不可伸长的线拉住，在光滑的水平面上运动，如图所示。线的另一端穿过一孔以等速 v向下拉动。设开始时球与孔间的距离为R，孔与球间的线段是直的，而球在初瞬时速度 v0 垂直于此线段。试求小球的运动方程和线的张力 F（提示：解题时宜采有极坐标） 解：设小球在任意瞬时的速度为v1，由于作用于小球的力对小孔 O 之矩为零，故小球在运动过程中对点 O 的动量矩守恒。即 rmvRmv10 01vrRv  由题意 r = R - v t 得小球在任意瞬时绕小孔 O 转动的角速度为 201)(v tRRvrv 即 20)(ddv tRRvt  两边求积分得 v tRtvtv tRRvt 020d)(0 故小球的运动方程为 r = R - v t v tRtv0 而线的张力为 322021)(v tRRmvrmvF 130 综-5 图示三棱柱A 沿三棱柱B 光滑斜面滑动，A 和B 的质量各为m1 与m2，三棱柱B 的斜面与水平面成 角。如开始时物系静止，忽略摩擦，求运动时三棱柱B 的加速度。 解：1）以A 及B 为系统，由于作用于该系统上的外力无水平分量，因此该系统在水平方向动量守恒。即 const21BAxmxm 两边求导得： BAxmmx12 （1） 2)以B 为动系分析A 的运动。如图（a）。 根据 aA = ae + ar = aB + ar cosraxxBA  （2） sinrayA （3） 3）对A 进行受力分析及运动分析，如图（b），建立质点运动微分方程 gmFymFxmAA1N1N1cossin 由式（2）、（3）消去 ar 得 tan)(ABAxxy...