第一节方差分析的基本原理与步骤

第一节 方差分析的基本原理与步骤 方差分析有很多类型，无论简单与否，其基本原理与步骤是相同的。本节结合单因素试验结果的方差分析介绍其原理与步骤。 一、线性模型与基本假定 假设某单因素试验有k 个处理，每个处理有n 次重复，共有nk 个观测值。这类试验资料的数据模式如表6-1 所示。 表6-1k 个处理每个处理有n 个观测值的数据模式 处理 观测值 合计 平均 A1 x11 x12 … x1j … x1n A2 x21 x22 … x2j … x2n … … Ai xi1 xi2 … xij … xin … … Ak xk1 xk2 … xkj … xkn xk. 合计 表中表示第i个处理的第j个观测值（i=1,2,…,k；j=1,2,…,n）；表示第i 个处理n 个观测值的和；表示全部观测值的总和；表示第i 个处理的平均数；表示全部观测值的总平均数；可以分解为 (6-1) 表示第i 个处理观测值总体的平均数。为了看出各处理的影响大小，将再进行分解，令 (6-2) (6-3) 则 (6-4) 其中μ表示全试验观测值总体的平均数，是第i 个处理的效应（treatmenteffects）表示处理i 对试验结果产生的影响。显然有 (6-5) εij 是试验误差，相互独立，且服从正态分布N（0，σ2）。 （6-4）式叫做单因素试验的线性模型（linearmodel）亦称数学模型。在这个模型中表示为总平均数μ、处理效应αi、试验误差εij 之和。由 εij 相互独立且服从正态分布N（0，σ2），可知各处理Ai(i=1，2，…，k)所属总体亦应具正态性，即服从正态分布N(μi,σ2)。尽管各总体的均数可以不等或相等，σ2 则必须是相等的。所以，单因素试验的数学模型可归纳为：效应的可加性（additivity）、分布的正态性（normality）、方差的同质性（homogeneity）。这也是进行其它类型方差分析的前提或基本假定。 若将表（6-1）中的观测值xij（i=1,2,…,k;j=1,2,…,n）的数据结构（模型）用样本符号来表示，则 (6-6) 与（6-4）式比较可知，、、分别是μ、（μi-μ）=、（xij-）=的估计值。 （6-4）、（6-6）两式告诉我们：每个观测值都包含处理效应（μi-μ或），与误差(或)，故 kn 个观测值的总变异可分解为处理间的变异和处理内的变异两部分。 二、平方和与自由度的剖分 我们知道，方差与标准差都可以用来度量样本的变异程度。因为方差在统计分析上有许多优点，而且不用开方，所以在方差分析中是用样本方差即均方（meansquares）来度量资料的变异程度的。表6-1 中全部观测值的总变异可以用总均方来度量。将...