第一讲琴生不等式、幂平均不等式VIP专享

1 高二数学竞赛班二试讲义 第一讲 琴生不等式、幂平均不等式 班级 姓名 一、知识要点： 1．琴生不等式 凸函数的定义：设连续函数( )f x 的定义域为,a b ，对于区间,a b 内任意两点12,x x ，都有1212()()()22xxf xf xf，则称( )f x 为,a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()()()22xxf xf xf，则称( )f x 为,a b 上的上凸（凹）函数。 琴生(Jensen)不等式（1905 年提出）：若( )f x 为,a b 上的下凸（凸）函数，则 1212()()()()nnxxxf xf xf xfnn （想象n 边形的重心在图象的上方，n 个点重合时“n 边形”的重心在图象上） 琴生(Jensen)不等式证明： 1）2n 时，由下凸（凸）函数性质知结论成立； 2）假设nk时命题成立，即1212()()()()kkxxxf xf xf xfkk 那么当1nk 时，设12111kkxxxAk， 1211111(1)(1)(1)()()()22kkkkkkxxxxkAkAkAkkf Affk 11111( )(1)()(1) ()11[ ()()][]22kikkikkkf xxkAf xkf Af Afkkk 所以112112()()()()()(1) ()kkkkkf Af xf xf xf xkf A 所以1121(1) ()()()()()kkkkf Af xf xf xf x，得证 2．加权平均琴生(Jensen)不等式： 若( )f x 为,a b 上的下凸（凸）函数， 且11,0niii， 则11(()( )nniiiiiifxf x 3．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 内具有二阶导数， （1）如果对任意x∈I,( )0fx，则曲线 y=f(x)在I 内是下凸的； （2）如果对任意x∈I,( )0fx，则y=f(x)在I 内是上凸的。 4．幂平均不等式： 若，且0,0，0ix ，则1111()()nniiiixxnn． 由幂平均不等式得333222333abcabc 2 二、例题精析 例 1．设0ix (1 ,2 ,, )in，11niix， 求证：1212121111nnnxxxxxxxxxn 例 2．已知 , ,0a b c ，1abc ，求证：11113abcabc  例 3．应用琴生(Jensen)不等式证明幂平均不等式： 若，且0 ,0，0ix ，则1111()()nniiiixxnn 3 例4．应用琴生(Jensen)...