动态法测量杨氏模量讲解

实验四动态法测定材料杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。杨氏模量测量方法有多种，最常用的有拉伸法测量金属材料的杨氏模量，这属于静态法测量，这种方法一般仅适用于测量形变较大、延展性较好的材料，对如玻璃及陶瓷之类的脆性材料就无法用此方法测量。动态法由于其在测量上的优越性，在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准指定的一种杨氏模量的测量方法。本实验用悬挂、支撑二种“动态法”测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。一、实验目的1．理解动态法测量杨氏模量的基本原理。2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。3．培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。4．进一步了解信号发生器和示波器的使用方法。二、实验原理长度 L 远远大于直径 d（L>>d）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为 ：4y s 2y 042xYJ t(1)式中  为棒的密度，S 为棒的截面积，J 称为惯量矩（取决于截面的形状），Y 为杨氏模量。解以上方程的具体过程如下（不要求掌握）：用分离变量法：令y(x,t)  X (x)T(t)1 d 4 Xs 1 d 2T 代入方程（1）得：4X dxYJ T dt 2等式两边分别是x 和 t 的函数，这只有都等于一个常数才有可能，设该常数为K ，于是得：4d 4 X  K 4 X  04dxd 2TK 4YJT  02sdt这两个线形常微分方程的通解分别为：X (x)  B1chKx  B2shKx  B3 cos Kx  B4 sin KxT(t)  Acos( t )于是解振动方程式得通解为：y(x,t)  (B1chKx  B2shKx  B3 cos Kx  B4 sin Kx)Acos( t )其中式（2）称为频率公式：  K YJ (2） s 412该公式对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。我们只要用特定的边界条件定出常数K ，并将其代入特定截面的转动惯量J ，就可以得到具体条件下的计算公式了。如果悬线悬挂(支撑点)在试样的节点附近，则其边界条件为自由端横向作用力：M 3 yF   YJ3  0xx 2 y  0弯矩 ：M  YJ x 2d3X即dx 3x0d3X 0dx3 0xld 2Xdx 2x0d 2X 0dx 2 0xl将通解代入边界条件，得到cosKLchKL 1，用数值解法求得本征值K 和棒长L 应满足：KL  0, 4.7300, 7.8532,...