包含与排除（一）包含与排除问题也叫容斥原理。“容”是容纳、包含的意思，“斥”是排斥、排除的意思，从题目名称上看，比较抽象，下面我们结合具体实例来说明这种问题的思考方法。【典型例题】例 1：如下图，桌面上放着两个正方形，求盖住桌面的面积。（单位：厘米）分析与解：这是一个组合图形，是由两个正方形组成的，中间重合部分是一个长方形，要想求出盖住桌面的面积，可以有三种不同方法：方法一：72+52-2X5=64（平方厘米）方法二：72-2X5+52=64（平方厘米）方法三：52-2X5+72=64（平方厘米）答：盖住桌面的面积是 64 平方厘米。例 2：四（1）班同学中有 37 人喜欢打乒乓球，26 人喜欢打羽毛球，21 人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？分析与解：根据题意可画图如下？人此类问题画集合图比画线段图更直观，更形象一些。方法一：37+26—21=42（人）方法二：37—21+26=42（人）方法三：37+（26—21）=42（人）以上三种方法是紧密联系的，都是要从中减去重叠部分，可以从其中一部分中减去再与另一部分合并，也可以从两部分之和中减去重叠部分。三种方法比较，你喜欢哪一种解法呢？我们根据以上两个例题可以得出这样的数量关系：第一部分+第二部分—重叠部分=两部分之和例 3：四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有 15 人，数学得“优”的有 17 人老师请得“优”的同学都站起来，数了数有 24 人。两科都得“优”的有几人？分析与解：根据“第一部分+第二部分—重叠部分=两部分之和”可以求出两科都得“优”的人数。15+17—24=8（人）另外，从下图中我们还能得出两种不同方法24 人方法二：17—（24—15）=8（人）15—（24—17）=8（人）答：两科都得优的有 8 人。例 4：图新小学四年级二班有 24 人参加了美术小组，有 18 人参加了音乐小组，其中11 人两个小组都参加，还有 5 人什么组都没参加。这个班共有学生多少人？分析与解：这个题与例 2 相比，多了一个已知条件，那就是“有 5 个人什么组都没参加”。如果按前面的画图方式，这 5 人无法在图上表示，根据题意，我们可以这样画图。要求全班有多少人，除了知道有 5 人什么组都没参加外，还要求出参加课外小组的有多少人。24+18—11=31（人）31+5=36（人）答：这个班共有学生 36 人。例 5：某班学生参加音乐组的有 11 人，参加美术组的有 8 人，参加英语组的有 12 人，既参加音乐组又参加美术组的有 5 ...
