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变化率与导数、导数的运算

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让青春之光闪耀在为梦想奋斗的道路上。第十节变化率与导数、导数的运算1.导数的概念(1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数:函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率limΔx→0fx0+Δx-fx0Δy=Δlim为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x=x0,即Δxx→0Δxfx0+Δx-fx0Δy=Δlim.Δxx→0Δxf′(x0)=Δlimx→0(2)导数的几何意义:函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点 P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数).相应地,切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0).(3)函数 f(x)的导函数:称函数 f′(x)=Δlimx→0fx+Δx-fx为 f(x)的导函数.Δx2.基本初等函数的导数公式原函数f(x)=xn(n∈Q*)f(x)=sin xf(x)=cos xf(x)=ax(a>0)f(x)=exf(x)=logax(a>0,且 a≠1)f(x)=ln x3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);(3)fxf′xgx-fxg′x′=(g(x)≠0).gx[gx]2导函数f′(x)=n·xn 1f′(x)=cos_xf′(x)=-sin_xf′(x)=axln_af′(x)=ex1f′(x)=xln a1f′(x)=x-4.复合函数的导数复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′·ux′,即 y 对 x 的导数等于y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.1[小题体验]1.已知 f(x)=13-8x+2x2,f′(x0)=4,则 x0=________.2.曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为________.1.利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xα)′=αxα混淆.2.求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者.3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别.[小题纠偏]ln x1.函数 y=x 的导函数为________________.e12.已知直线 y=-x+1 是函数 f(x)=- ·ex 图象的切线,则实数 a=________.a考点一导数的运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]求下列函数的导数.(1)y=x2sin x;1(2)y=ln x+ ;xcos x(3)y=x ;eππ2x+ cos2x+ ;(4)(易错题)y=xsin22(5)y=ln(2x-5).[谨记通法]求函数导数的 3 种原则-1 与指数函数的求导公式(ax)′=axln a[提醒]复合函数求导时...

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