第三章泊松过程与更新过程

第三章《泊松过程与更新过程》 1 第三章 泊松过程与更新过程 泊松过程（Poisson process ）最早是由法国人Poisson 于1937 年引入的.它是一类较为简单的时间连续状态离散的随机过程，在物理学、地质学、生物学、医学、天文学、服务系统和可靠性理论等领域都有广泛的应用。 3 .1 泊松过程的定义和数字特征 在第二章中，我们已经定义了泊松过程，在实际应用中，考虑一个来到某“服务点”要求服务的“顾客流”，顾客到服务点的到达过程可以认为是Poisson 过程.当抽象的“服务点”和“顾客流”有不同的含义时，就可形成不同的Poisson 过程，下面我们先看几个实例. 例 3 .1 考虑某一电话交换台在某时间段接到的呼唤，令( )N t 表示电话交换台在(0, ]t 收到呼唤的次数，则{( ),0}N t t 是一个Poisson 过程. 例 3 .2 考虑机器在( ,]t th内发生故障这一事件，若机器发生故障，立即进行修理，在( ,]t th内发生故障而停工的机器数构成一个随机过程，可以用Poisson 过程来描述. 定义3 .1 称记数过程{( ),0}N t t 是强度为 的Poisson 过程，如果满足条件： （1）(0)0N； （2）( )N t 是平稳增量与独立增量过程； （3） {( )1}( ),P N hhh 0h ； （4）{( )2}( ),0.P N hh h 上述定义中条件（3）表明在充分小的时间间隔h 内到达一个“顾客”的概率与时间间隔 h 的长度成正比，条件（4）表明在很小的时间间隔h 内不可能到达两个或两个以上的“顾客”.在实际应用中，很多随机现象都近似地满足这两个条件，因此，可用Poisson 过程来描述. 定理3 .1 定义2.15 和定义3.1 是等价的. 证明 一方面，定义3.1 定义2.15. 在定义3.1 的条件下，记( ){( )}nP tP N tn，令0h ，则 0(){()0}{( )0,()( )0}P thP N thP N tN thN t {( )0}{()( )0}P N tP N thN t（独立增量性） 第三章《泊松过程与更新过程》 2 {( )0}{( )0}P N tP N h （平稳增量性） 0( )[1( )]P thh（由定义中（3）（4）） 因此，000()( )( )( )P t hP thP thh ，令0,h 取极限得，00( )( )P tP t ，再由初始条件0(0){(0)0}1PP N ，解得：0( )tP te . 类似地，对1n  (){()}nP t hP N t hn {( ),()( )0}P N t...