第九章BlackScholes模型的拓展(金融衍生品定价理论讲义)

第九章 Black-Scholes模型的拓展 在这一章，我们研究股指期权、外汇期权和期货期权的定价问题。作为第一步，我们先研究标的股票支付连续红利的期权定价问题。由于股指、外汇和期货类似于支付连续红利的股票，所以以支付连续红利股票为标的物的期权的定价结果可以应用到以这些证券为标的物的期权的定价。 1．支付连续红利的股票 比较以年红利率q 支付连续红利的股票 A 和别的方面相同的但不支付红利的股票 B。两种股票应该提供相同的总回报率（红利加上资本利得）。连续红利的支付使得股票 A 的价格的增长率比股票 B 的价格的增长率减少量q 。如果到时间T 时，股票 A 的价格从时间 0的0S 涨到TS ，则股票 B 的价格将从0S 涨到qTTeS，或者股票 B 的价格将从qTeS0涨到TS 。以上的分析说明，在下面两种情况下，股票在时间T 的价格具有相同的分布： （1）股票从价格0S 开始，以年红利率q 支付连续红利； （2）股票从价格qTeS0开始，不支付红利。 两者的等价性导致了一个简单的结果。当我们给以年红利率 q 支付连续红利的股票为标的物的欧式期权定价时，我们只需要把股票价格从0S 减为qTeS0，再把期权的定价视为标的股票不支付红利的期权定价。 利用qTeS0代替0S ，利用 Black-Scholes 公式，我们得到以年红利率q 支付连续红利的股票为标的物的欧式期权定价公式： )()(2100dNKedNeScrTqT （1） )()(1020dNeSdNKepqTrT （2） 这里 TTTqrKSdf21ln01 ddT21。 等价鞅测度定价 利用上一章的方法，我们可以得到任何以年红利率 q 支付连续红利的股票为标的物的衍生证券价格满足的微分方程。这个方程也不依赖于个体的风险偏好。因此等价鞅测度定价方法也成立。实际上，我们可以严格证明，当标的物支付红利时，无套利和存在等价鞅测度也是等价的，只不过这时应该是价格和累计红利和的折现值是鞅，即在等价鞅测度下，股票的总回报率为 r 。因为红利提供的回报率是 q ，所以股票价格的期望增长率是qr 。在等价鞅测度下，股票价格服从的方程为 SdzSdtqrdS)( （3） 为了任何以年红利率 q 支付连续红利的股票为标的物的衍生证券定价，我们只需要把股票的期望增长率设为qr ，计算期望终端支付值的折现值。 二项树模型 考虑如下的二项树模型。股票的总回报率为 r 。因为红利提供的回报率是 q ，所以股票价格的期望增长率...