第九章多元函数积分学总结

第九章 多元函数积分学 （三重积分、第一类曲线积分与第一类曲面积分、点函数的性质及其应用） 1 、 三重积分的引入： 三重积分的概念是从求三维立体的质量而引入的，问题的关键点是同一个立体的不同质点处的密度并不均匀，密度函数是一个三元函数。（了解三重积分的来源有助于真正的掌握它的应用哦） 问题的解决方法是经典的四部曲，分割，取近似，求和，取极限。 2 、 三重积分的计算： （1 ） 作图,由于三重积分是体积的质量，自然我们要先将积质量的基准区域找出来，作图的功力要大家慢慢练习好好体会了，苏老师的复习小帮手上写得很清楚了。 （2 ） 计算 三重积分主要有四种计算方法（平面坐标系下的投影法及平面截割法、柱面坐标系转换、球面坐标系转换），接下来我们一一归纳之…… 投影法 方法概要 该法的本质是将所求的立体看作是一个主体，通过将每一个小主体上的质量积分最终得到总的质量，立体区域 V 是曲面yxzz,1（称为下曲面），yxzz,2（称为上曲面）与以 xy边界为准线，母线平行于 Oz 轴 的柱面为侧 面。 图形 示 例 适 用范 围 投影区域较 简 单 ，上、下曲面可 表 示 为垂 直 坐标平面坐标轴 对 应的变 量为坐标平面上对 应的两 个变 量的函数，且 化 成 累 次 积分后 容 易 计算出积分的值 。 注 意 点 若xy是 x 一型 区域：  bxaxyx,21，则 有   .,,,,,,2121yxzyxzxxbaVdzzyxfdydxdvzyxf 若  xy 是 y 一型 区域：  dxcyxy,21，则 有   .,,,,,,2121yxzyxzyydcVdzzyxfdxdydvzyxf 若  xy 是圆 域或 圆 域的一部分时 ，也 可 化 为 xy 上的二 重积分以后 ，再 用极坐标变 换化 为累 次 积分。 平面截割法 方法概要 该方法是将所求立体看作是一根平行于某一坐标轴的细棒，通过将细棒上任意一小截面上的质量积分，最终得到总质量。设立体V 介于两平面dzcz ,之间（dc ，知对立体V 中任意一点 zyxP,,，有dzc）。过dczz,,,0,0，作垂直于Oz 轴的平面与立体相截，截面区域为zD ，如图 6-26 所示，（知对立体V 中的任意一点 zyxP,,，有zDyx,），从而立体区域 V 可表示为：  ,,,:,,dzcDyxzyxVz ...