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第二章极限与连续

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第二章 极限与连续 极限理论是高等数学的基础,高等数学中包含导数,积分等概念都是用极限描述的。 本章包含数列的极限、级数、函数的极限,函数的连续性的概念、无穷小量与无穷大量的概念。 本章约占考试内容10%。 §2.1 数列及其极限 一、数列的概念 定义 2.1 一列有顺序的数 a1,a2,„,an,„ 叫数列。其中an叫第n 项,也叫通项。 数列可以简单记作{an},即 {an}=a1,a2,„,an,„ 【例 1】数列1,2,3,„,n,„的通项 an=n。 [答疑编号 10020101:针对该题提问] ∴记作 1,2,3,„,n,„={n}。 【例 2】数列1, , ,„, ,„的通项 an= 。 [答疑编号 10020102:针对该题提问] ∴记作 1, , ,„, „={ }。 【例 3】数列, , ,„, ,„的通项 an=。 [答疑编号 10020103:针对该题提问] ∴记作 , , ,„, ,„={}。 【例 4】数列1,-1,1,-1,„,(-1)n+1,„的通项 an=(-1)n+1。 [答疑编号 10020104:针对该题提问] ∴记作 1,-1,1,-1,„,(-1)n+1,„={(-1)n+1}。 二、数列的极限 定义 2.2 如果当 n 无限增大时(记作 n→∞),数列{an}= a1,a2,„,an,„ 的通项 an与一个常数a 无限接近,就说数列{an}的极限是a,记作 这时,也说数列{an}是收敛的且收敛于常数a。否则,就说数列{an}是发散的。 【例 5】讨论数列{ }=1, , ,„, ,„的敛散性。 [答疑编号 10020105:针对该题提问] 解:因为通项 an= 所以 所以数列{}收敛且收敛于0。 【例6】讨论数列的敛散性。 [答疑编号10020106:针对该题提问] 解:因为通项 an=()n 通过下表可以看出 当n→∞时,an=()n与数0无限接近。 所以有 所以数列{()n}收敛且收敛于0。 一般地,若|a|<1,则an越变越小,无限接近于零。即有重要结果 【例7】讨论数列{2n}=2,4,8,16,„, 2n,„的敛散性 [答疑编号10020107:针对该题提问] 解:通过下表可以看出 当n→∞时,an=2n也无限变大,可以记作 因为符号∞不是常数,所以数列{2n}发散。 一般地有下面结果: 【例8】说明数列是收敛的,并求其极限。 [答疑编号10020108:针对该题提问] 解:,虽然随着n 的增大,an的值有时比1 大,但是当n 无限增大时,“摆的量”的绝对值是趋向 0的,所以,an离 1 距离越来越近,且无限接近,由极限的定义知 ∴数列收敛且收敛于 1。 三、收敛数列的性质 下面介绍收敛数列有下面性质: 性质 1 (极...

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