第二章极限与连续

第二章 极限与连续 极限理论是高等数学的基础，高等数学中包含导数，积分等概念都是用极限描述的。 本章包含数列的极限、级数、函数的极限，函数的连续性的概念、无穷小量与无穷大量的概念。 本章约占考试内容10%。 §2.1 数列及其极限 一、数列的概念 定义 2.1 一列有顺序的数 a1,a2,„,an,„ 叫数列。其中an叫第n 项，也叫通项。 数列可以简单记作｛an｝，即 ｛an｝=a1,a2,„,an,„ 【例 1】数列1,2,3,„,n,„的通项 an=n。 [答疑编号 10020101：针对该题提问] ∴记作 1,2,3,„,n,„=｛n｝。 【例 2】数列1, , ,„, ,„的通项 an= 。 [答疑编号 10020102：针对该题提问] ∴记作 1, , ,„, „=｛ ｝。 【例 3】数列, , ,„, ,„的通项 an=。 [答疑编号 10020103：针对该题提问] ∴记作 , , ,„, ,„=｛｝。 【例 4】数列1,-1,1,-1,„,（-1）n+1,„的通项 an=（-1）n+1。 [答疑编号 10020104：针对该题提问] ∴记作 1,-1,1,-1,„,（-1）n+1,„=｛（-1）n+1｝。 二、数列的极限 定义 2.2 如果当 n 无限增大时（记作 n→∞），数列｛an｝= a1,a2,„,an,„ 的通项 an与一个常数a 无限接近，就说数列｛an｝的极限是a，记作 这时，也说数列｛an｝是收敛的且收敛于常数a。否则，就说数列｛an｝是发散的。 【例 5】讨论数列｛ ｝=1, , ,„, ,„的敛散性。 [答疑编号 10020105：针对该题提问] 解：因为通项 an= 所以 所以数列｛｝收敛且收敛于0。 【例6】讨论数列的敛散性。 [答疑编号10020106：针对该题提问] 解：因为通项 an=（）n 通过下表可以看出 当n→∞时，an=（）n与数0无限接近。 所以有 所以数列｛（）n｝收敛且收敛于0。 一般地，若｜a｜<1，则an越变越小，无限接近于零。即有重要结果 【例7】讨论数列｛2n｝=2,4,8,16,„, 2n,„的敛散性 [答疑编号10020107：针对该题提问] 解：通过下表可以看出 当n→∞时，an=2n也无限变大，可以记作 因为符号∞不是常数，所以数列｛2n｝发散。 一般地有下面结果： 【例8】说明数列是收敛的，并求其极限。 [答疑编号10020108：针对该题提问] 解：，虽然随着n 的增大，an的值有时比1 大，但是当n 无限增大时，“摆的量”的绝对值是趋向 0的，所以，an离 1 距离越来越近，且无限接近，由极限的定义知 ∴数列收敛且收敛于 1。 三、收敛数列的性质 下面介绍收敛数列有下面性质： 性质 1 （极...