§1 矩阵及其运算 一、矩阵的基本概念（必考） 矩阵，是由 m*n 个数组成的一个 m 行 n 列的矩形表格，通常用大写字母 表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素 表示，其中下标 都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置.比如,或 表示一个 m*n 矩阵，下标 ij 表示元素 位于该矩阵的第 行、第 列.元素全为零的矩阵称为零矩阵. 特别地，一个 m*1 矩阵 ，也称为一个 m 维列向量；而一个 1*n 矩阵B=(b1,b2,…，bn)，也称为一个 n 维行向量. 当一个矩阵的行数 m 与烈数 n 相等时，该矩阵称为一个 n 阶方阵.若一个 n 阶方阵的主对角线上的元素都是 ，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为 ，即： .单位矩阵与实数中的‘1’的运算相近.如一个 阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵是一个 阶下三角矩阵. 例题：1.A 既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则 A 必是对角矩阵 2.两矩阵既可相加又可相乘的充要条件是两矩阵为同阶方阵. 3.A=(l≠n)，则A 的主对角线上个元素的和为 (设矩阵为 2 行 3 列的矩阵，找规律) 二、矩阵的运算 1、矩阵的加法 ： 如果 是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说 ），则定义它们的和 仍为与它们同型的矩阵（即 ）， 的元素为 和 对应元素的和，即： . 给定矩阵 ，我们定义其负矩阵 为： .这样我们可以定义同型矩阵 的减法为： .由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列 运算律： (1)交换律： ； (2)结合律： ； (3)存在零元： ;(4)存在负元： . 2 、数与矩阵的乘法的运算律： （1) ； （2) ； （3) ； （4) . 3 、矩阵的乘法（必考） 设 为 距阵， 为 距阵，则矩阵 可以左乘矩阵 （注意：距阵 的列数等与矩阵 的行数），所得的积为一个 距阵，即,其中,并且(即左行乘右列) 矩阵的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）： (1）结合律： ； (2）左分配律： ； (3）右分配律： ； (4）数与矩阵乘法的结合律： ； (5）单位矩阵的存在性： . 若 为 阶方阵，则对任意正整数 ，我们定义： ，并规定： 由于矩阵乘法满足结合律，我们有： ， . 注意： 矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是： （必考重要） （1)矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便 有意义， 也未必有...
