基本不等式知识点总结与例题讲解

基本不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）基本不等式.（2）利用基本不等式求最值.（3）基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式.二、本节题型（1）利用基本不等式求最值.（2）利用基本不等式证明不等式.（3）基本不等式的实际应用.（4）与基本不等式有关的恒成立问题.三、知识点讲解知识点基本不等式（均值不等式）一般地,a,b R,有a 2  b 2 ≥ 2ab .当且仅当 a  b 时,等号成立.特别地,当 a  0,b  0 时,分别用a, b 代替上式中的 a,b,可得a  b ≥ab .2当且仅当 a  b 时,等号成立.通常称不等式 a  ba  b≥ab 为基本不等式（也叫均值不等式）,其中叫做正22数 a,b的算术平均数,ab 叫做正数 a,b的几何平均数.基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.注意重要不等式 a  b ≥ 2ab 与基本不等式22a  b ≥ab 成立的条件是不一样2的.前者 a,b 为任意实数,后者 a,b 只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是 a  b .基本不等式的变形a  b （1） a  b ≥ 2 ab ,ab ≤ .其中 a,b R+,当且仅当a  b 时,等号成立.22（2）当 a  0 时, a  11≥2,当且仅当 a ,即a 1时,等号成立;aa1当 a  0时, a ≤ 2 ,当且仅当a  1时,等号成立.a1 1  .  a aa 实际上,当 a  0时, a 1 111   a  ≥2,∴   a  ≤  2 ,即 a ≤  2 .当且仅当  a  ,aaa a 即 a  1（ a  0）时,等号成立.（3）当 a,b同号时, baba≥2,当且仅当 a  b 时,等号成立;当 a,b异号时,≤abab 2 ,当且仅当 a  b 时,等号成立.a 2  b 2a  b（4）不等式链:≤ab ≤≤（ a  0,b  0 ,当且仅当 a  b 时,1122ab2等号成立.）a  ba 2  b 2其中,,ab ,,分别叫做正数 a,b的调和平均数、几何平均数、1122ab2算术平均数、平方平均数.知识点利用基本不等式求最值设 x  0, y  0 ,则有S 2（1）若 x  y  S （和为定值）,则当 x  y 时,积 xy取得最大值;4S 2x  yS（ x, y  R+,有xy ≤.）,∴ xy≤ 422和定积最大.（2）若 xy  P （积为...