多重积分的方法总结

多重积分的方法总结引言：高等数学是一门严密的学科，在学习高数过程中，我认为应用最为广泛的是积分,高数中积分包含了曲面积分、曲线积分、二重积分和三重积分等，它们在许多学科中、生活中应用比较广泛 ,比如，要计算某个不规则物体的体积就可以运用积分来求解,很多方面均可以转化成微积分的面积，体积的思维来求，这就是它的优点，这种面积和体积是一种抽像的概念了，到了更多重积分又会有更多和意义。那么，下面我将以二重积分和三重积分的定义、计算方法、主要应用公式和二重积分与三重积分的关系为核心来介绍多重积分。（其中计算方法将通过例题来解释）二重积分定义： 设二元函数 z=f(x，y)定义在有界闭区域 D 上,将区域 D 任意分成 n 个子域Δδi（i=1,2，3，…,n）,并以Δδi 表示第 i 个子域的面积。在Δδi 上任取一点(ξi，ηi)，作和 lim n→+∞ （n/i=1 Σ(ξi，ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在，则称此极限为函数 f(x,y)在区域 D 上的二重积分,记为∫∫f（x，y)dδ,即∫∫f(x,y）dδ=lim n→+∞ （Σf(ξi,ηi)Δδi）这时,称 f(x,y）在 D 上可积,其中 f（x，y)称被积函数,f(x，y）dδ 称为被积表达式,dδ 称为面积元素, D 称为积分域,∫∫称为二重积分号。同时二重积分有着广泛的应用 ,可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量,平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活,比如无线电中也被广泛应用。二重积分的计算方法1 直角坐标系中累次积分法对于直角坐标系下的二重积分主要是对于区域的划分，可以分为如下两类区域来计算。平面点集 D=(x, y) | y1(x)  y  y2(x),a  x  b为 x 型区域;平面点集 D=(x, y) | x1(y)  x  x2(y),c  y  d为 y 型区域。x 型区域：若 f (x, y) 在 x 型区域 D 上连续，其中 y1(x), y2(x)在a,b上连续，则by2(x)dx=f (x, y)dy1(x) f (x, y)dyaD试计算：I=2 yxed 的值。D2解：画出区域图 1 只能用先对 x 后先对积 y 分，则1y113 y22 y2I=dy x edx = y edy0030由分部积分法，即可算得:图 111I=63e例 2 试将  f (x, y)d 化为两种不同次序的累次积分，其中D 是 y = x 由，Dy  2 x和 x轴所围成的区域.图 2则解首先画出积分区域 D 如图 2，并求出边界曲线...