3初三奥数第三讲充满活力的韦达定理

第三讲 充满活力的韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由 16 世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。 【例题求解】 【例 1】 已知 、  是方程012 xx的两个实数根，则代数式)2(22的值为 。 思路点拨：所求代数式为 、  的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例 2】如果a 、 b 都是质数，且0132maa，0132mbb，那么baab 的值为( ) A、22123 B、22125 或2 C、22125 D、22123 或2 思路点拨：可将两个等式相减，得到 a 、 b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、 b 为方程0132mxx的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。 注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。 【例 3】 已知关于x的方程：04)2(22mxmx (1)求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212 xx，求 m 的值及相应的1x 、2x 。 思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。 【例 4】 设1x 、2x 是方程02324222mmmxx的两个实数根，当m 为何值时，2221xx有最小值?并求出这个最小值。 思路点拨：利用根与系数关系把待求式用 m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。 注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0 这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。 【例 5】 已知：四边形 ABCD 中，AB∥CD，且AB、CD 的长是关于x的方程047)21(222...