第三讲 充满活力的韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系,通常也称为韦达定理,这是因为该定理是由 16 世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容,应用广泛,主要体现在: 运用韦达定理,求方程中参数的值; 运用韦达定理,求代数式的值; 利用韦达定理并结合根的判别式,讨论根的符号特征; 利用韦达定理逆定理,构造一元二次方程辅助解题等。 韦达定理具有对称性,设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。 韦达定理,充满活力,它与代数、几何中许多知识可有机结合,生成丰富多彩的数学问题,而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。 【例题求解】 【例 1】 已知 、 是方程012 xx的两个实数根,则代数式)2(22的值为 。 思路点拨:所求代数式为 、 的非对称式,通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例 2】如果a 、 b 都是质数,且0132maa,0132mbb,那么baab 的值为( ) A、22123 B、22125 或2 C、22125 D、22123 或2 思路点拨:可将两个等式相减,得到 a 、 b 的关系,由于两个等式结构相同,可视a 、 b 为方程0132mxx的两实根,这样就为根与系数关系的应用创造了条件。 注:应用韦达定理的代数式的值,一般是关于1x 、2x 的对称式,这类问题可通过变形用1x +2x 、1x2x 表示求解,而非对称式的求值常用到以下技巧: (1)恰当组合;(2)根据根的定义降次;(3)构造对称式。 【例 3】 已知关于x的方程:04)2(22mxmx (1)求证:无论 m 取什么实数值,这个方程总有两个相异实根。 (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212 xx,求 m 的值及相应的1x 、2x 。 思路点拨:对于(2),先判定1x 、2x 的符号特征,并从分类讨论入手。 【例 4】 设1x 、2x 是方程02324222mmmxx的两个实数根,当m 为何值时,2221xx有最小值?并求出这个最小值。 思路点拨:利用根与系数关系把待求式用 m 的代数式表示,再从配方法入手,应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。 注:应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根,即应用韦达定理解题时,须满足判别式△≥0 这一条件,转化是一种重要的数学思想方法,但要注意转化前后问题的等价性。 【例 5】 已知:四边形 ABCD 中,AB∥CD,且AB、CD 的长是关于x的方程047)21(222...