3新课标九年级数学竞赛辅导讲座第三讲活力的韦达定理

用心 爱心 专心 第三讲 充满活力的韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的． 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等． 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路． 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法． 【例题求解】 【例 1】 已知  、  是方程012 xx的两个实数根，则代数式)2(22的值为 ． 思路点拨 所求代数式为 、 的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例 2】如果 a 、b 都是质数，且01 32maa，01 32mbb，那么baab 的值为( ) A．2 21 2 3 B．2 21 2 5 或 2 C．2 21 2 5 D．2 21 2 3 或 2 思路点拨 可将两个等式相减，得到 a 、 b 的关系，由于两个等式结构相同，可视 a 、b 为方程01 32mxx的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件． 注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x + 2x 、1x2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1)恰当组合； (2)根据根的定义降次； (3)构造对称式． 【例 3】 已知关于 x的方程：04)2(22mxmx (1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根． (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212 xx，求m的值及相应的1x 、2x ． 思路点拨 对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手． 用心 爱心 专心 【例 4】 设1x 、2x 是方程02324222mmmxx的两个实数根，当 m为何值时，2221xx 有最小值?并求出这个最小值． 思路点拨 利用根与系数关系把待求式用 m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的． 注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性． 【 例 5】 已 知...