第二节 齐次马尔可夫链 一、齐次马尔可夫链的概念 一个随机过程｛Xn ，n＝0，1，2，…｝就是一族随机变量，而 Xn 能取的各个不同的值，则称为状态。如果一个随机过程｛Xn ，n＝0，1，2，…｝，由一种状态转移到另一种状态的转移概率只与现在处于什么状态有关，而与在这时刻之前所处的状态完全无关，即如果过程｛Xn ，n＝0，1，2，…｝中，Xn +1的条件概率分布只依赖于 Xn 的值，而与所有更前面的值相互独立，则该过程就是所谓马尔可夫(Markov)过程． 马尔可夫链是指时间离散，状态也离散的马尔可夫过程。一个马尔可夫链，若从 u 时刻处于状态 i，转移到 t＋u 时刻处于状态 j 的转移概率与转移的起始时间 u 无关，则称之为齐次马尔可夫链，简称齐次马氏链。 如果把从状态 i 到状态 j 的一步转移概率记为 pij，则 pij＝P｛Xn +1＝j｜Xn ＝i｝，i，j＝0，1，2，…，且有转移概率矩阵 P， 这样，一个齐次马氏链，可以由一个转移概率矩阵 P 以及在时刻零时状态 x＝0，1，2，…的概率分布列向量 Q＝(q(0)，q(1)，…) 完全确定。由齐次马氏链性质知道，第i 状态的行向量 Ai 与第i＋1状态的行向量 Ai+1之间存在着关系式：Ai+1＝AiP。 二、齐次马氏链在评估教学质量中的应用 教学过程是一个随机过程，也就是说，对于具有相同基础知识背景的学生(个体)，在同时接受新知识时是随机的。我们可以把一个班(群体)的学生划分为不同的等级(譬如：优、良、中、及格、不及格五个等级)，近似地认为处于同一等级的学生具有相同的基础知识，用齐次马氏链，通过学生学习 状态的转移概率矩阵，最 终 可以预 测 一个班学生学习 成 绩 的稳定状态。对教师 而言 ，也就可用来 评估、预 测 一个班的教学质量。 在教学效 果指标 的量化 过程中，齐次马氏链评估法 是将 一个群体(如一个班或 一个年 级)的学生在某 次考 试 中获 得 优(90 分以上 )、良(80～ 89分)、中(70～ 79 分)、及格(60～ 69 分)和 不及格(59 分以下 )各等级学生人 数 占 总 人 数 之比 ，作 为状态变量，并 用向量表 示 之。即 R(t)＝(X1(t)，X2(t)，X3(t)，X4(t)，X5(t))， 由于齐次马氏链与t 时刻前的状态无关(呈无后效性)，可以研究当t变化时，状态向量R(t)的变化规律，从而对教学效果进行评估。 设经第一次考试，一个班n 个学生中，优、良、中、及格、不及格的学生数分别为ni(i＝1，2，3，4，5)，则状态...
