DM抽象代数AbstractAlgebra本部分所要探讨的数学结构是由集合上定义若干运算而组成的系统——称为代数系统(代数结构)。几个问题6.6.项链问题：项链问题：用n种颜色的珠子做成有m颗珠子的项链，问可做成多少种不同类型的项链?2.2.正多面体着色问题正多面体着色问题：对一个正多面体的项点或面用n种颜色进行着色，问有多少种不同的着色方法?3.3.图的构造与计数问题图的构造与计数问题4.4.开关线路的构造与计数问题开关线路的构造与计数问题：用n个开关可以构造出多少种不同的开关线路?5.5.数字通信的可靠性：数字通信的可靠性：如何设计高效的检错码与纠错码？6.6.代数方程根式求解问题代数方程根式求解问题：五次方程有根吗？7.7.网络规划网络规划8.8.信息安全信息安全9.9.语言：语言：某语言L的语法语义？程序的结构（数据表示？算法构造？），根据L编写的程序是正确的吗？10.10.计算复杂性：计算复杂性：该问题可计算吗？计算机能/不能计算吗？计算复杂性如何？主要内容主要内容第第66讲代数结构讲代数结构第第77讲讲群代数群代数第第88讲格与布尔代数讲格与布尔代数第第66讲代数结构讲代数结构重点：代数结构的判定与构造代数结构的判定与构造代数结构关系：同态、同构代数结构关系：同态、同构特殊关系：同余关系特殊关系：同余关系难点：同余关系、同态基本定理同余关系、同态基本定理6.6.1集合运算代数结构定义例1〈Z;+,*,-〉,〈N,-〉,〈{T,F};┐,∧,∨〉,〈P(A);∪,∩〉，〈∑*;*〉需要满足的条件？1)有一个非空集合S，称为载体()；2）一些定义在载体S上的运算。某个集合上的运算在某个集合下的封闭性？运算封闭性：若x，y∈A，有x*y∈A，称*在A上是封闭的设o是集合A上的一个n元运算，非空集合SA，如果对于每一个(a1，a2，…，an)∈S，都有o(a1，a2，…，an)∈S，则称S在运算o下是封闭的，或o在集合S上是封闭的。代数结构？〈S;O〉集合S？运算O？6.16.1什么是代数结构？什么是代数结构？代数结代数结构构例2：A={x｜x=2n，n∈N}，问一般乘法运算*在A上封闭否，加法+、除法/呢？解：2r，2s∈A，2r*2s=2r+s∈A（ｒ＋ｓ∈Ｎ）*在A上运算封闭2，4∈A，2+4A，+在A上不封闭2，4∈A，2/4A，/在A上不封闭7.17.1什么是代数结构？什么是代数结构？代数结代数结构构定义7.4设V=,S′S,如果运算*1,*2,…,*n在S′上封闭，则称为V的子代数结构，简称为V的子代数(Subalgebra)。根据上述子代数的定义，代数结构V上运算满足的性质，其子代数结构也满足。例7.7设N为自然数集合，Ο为非负奇数集，E为非负偶数集，则对于代数结构（+为一般加法运算），为其子代数，但<Ο;+>不是其子代数，因为后者+在Ο上不满足封闭性。7.17.1什么是代数结构？什么是代数结构？运算性质、特殊元素满足封闭性结合律交换律(左/右)分配律、消去律、吸收律幂等元(Idempotentelement)(左/右)单位元(Identityelement)(左/右)零元(Zeroelement)(左/右)逆元(Inverse)7.17.1什么是代数结构？什么是代数结构？代数结代数结构构类似于初等代数以及集合论、数理逻辑中讨论的运算之性质，对于二元运算ο以及*：若对于任意a,bA∈有：aοb=bοa,则称ο在A上是可交换的(或称ο满足交换律)。若对于任意aA∈有：aοa=a,则称ο在A上是满足幂等律的。若对于任意a,b,cA∈有：当aοb=aοc时，有b=c,则称ο在A上是左可消去的(或称ο满足左消去律)，若ο在A上是满足左可消去律与右可消去律，则称ο在A上是可消去的(或称ο满足消去律)。7.17.1什么是代数结构？什么是代数结构？若对于任意a,b,cA,∈有：aο(b*c)=(aοb)*(aοc);(b*c)οa=(bοa)*(cοa)。则称ο对于*是可分配的(或称ο满足分配律)。若对于任意a,b,cA∈有：aο(bοc)=(aοb)οc,则称ο为在A上是可结合的(或称ο满足结合律)。若集合A上的二元运算*满足结合律,则我们常用a*b*c来表示(a*b)*c=a*(b*c)。7.17.1什么是代数结构？什么是代数结构？7.2.3代数结构的特殊元素1.单位元定义7.5设ο是集合A上的二元运算，如果存在一个元素elA∈，使得对于任意的aA∈满足elοa=...
