9 －1 第九章 动力问题 如果只对结构加载荷后的长期响应感兴趣的话，静力分析就足够了。然而，如果加载时间很短，例如地震；或者载荷性质为动态，例如来自旋转机械的荷载，这时就必须采用动力分析。 9 .1 引言 动态模拟是将惯性力包含在动力学平衡方程中： 0PIuM 其中 M 是结构的质量。 u 是结构的加速度。 I 是结构中的内力。 P 是所施加的外力。 公式的表述无非是牛顿的第二运动定律（F=m a）的表现。 动态分析和静态分析最主要的不同在于平衡方程中包含惯性力项（M u）。两者的另一个不同之处在于内力I 的定义。在静态分析中，内力仅由结构的变形引起；而动态分析中的内力包括运动（例如阻尼）和结构变形的共同贡献。 9 .1 .1 固有频率和模态 最简单的动力问题是在弹簧上的质量振动，如图 9-1 所示。 图 9–1 质量－弹簧系统 弹簧的内力为 ku，所以运动方程为 mukuP 0 这个质量弹簧系统的固有频率（单位是弧度/秒）为 mk 如果质量块被移动后再释放，它将以这个频率振动。假若以此频率施加一个动态外力，位移的幅度将剧烈增加－即所谓的共振现象。 实际的结构具有多个固有频率。因此，在设计结构时避免使各固有频率与可9 －2 能的荷载频率过分接近就很重要。固有频率可以通过分析结构在无荷载（动力平衡方程中的）时的动态响应而得到。此时，运动方程变为 MuI 0 对于无阻尼系统，，则上式变为 MuKu 0 这个方程解的形式为 tieu 将此式代入到运动方程中便得到了特征值问题方程 KM 其中 2 。 该系统具有 n 个特征值，此处 n 是有限元模型的自由度数。记j 为第 j 个特征值。它的平方根j 是结构的第 j 阶固有频率，并且j 是相应的第 j 阶特征向量。特征向量也就是所谓的模态（也称为振型），因为它是结构在第 j 阶振型下的变形状态。 在 ABAQUS 中，频率提取程序用来求解结构的振型和频率。这个程序使用起来十分简单，只要给出所需振型的数目和所关心的最高频率即可。 9 .1 .2 振型叠加 在线性问题中，结构在荷载作用下的动力响应可以用固有频率和振型来表示，即结构的变形可以采用振型叠加的技术由各振型的组合得到，每一阶模态都要乘以一个标量因子。模型中位移矢量u 被定义为 1iiiu 其中i 是振型i 的标量因子。这一技术只在模拟小变形、线弹性材料、无接...
