微积分总复习

微积分总结第一部分 函 数函数是整个高等数学研究的主要对象 ,因而成为考核的对象之一。特别是一元函数的定义和性质，其中包括反函数、复合函数、隐函数、初等函数和分段函数的定义和性质。一、 重点内容提要1、函数定义中的关键要素是定义域与对应法则,这里要特别注意两点：①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时,才能说它们是相同的函数。②分段函数是一个函数而不是几个函数。求函数的定义域：(答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量 x 的取值范围（集合)主要根据：①分式函数：分母≠0②偶次根式函数：被开方式≥0③对数函数式：真数式＞0④反正（余）弦函数式：自变量 x 1例1例2例3求函数y x x的定义域。ln(x  2y)求函数的定义域。224  x  yy =2  x 的定义域1- 2x2例 4 y  ln(x  3x)  arccosx在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。2、关于反函数定义，我们仅要求掌握变量反解法。3、函数的简单性质，重点掌握奇偶性、单调性。4、关于复合函数定义将复合函数拆成基本初等函数或基本初等函数经四则运算形成的函数 ,这在求导和积分类型题中是不可避免的.1指出 y  sin e1arctanx 的复合过程5、隐函数：主要在后面求导数及应用中用到6、注意初等函数的定义。注意分段函数不是初等函数。二、 典型例题类型题 1、求函数定义域例 1求函数 f (x) 4  x的定义域。lg(x 1)x  4x  1x  2解要使函数表达式有意义，x 要满足：4  x  0即x 1  0lg(x 1)  01,例 2 求函数 f(x）= 1,所以函数的定义域为（1,2)(2,4]。0  x  11  x  2的定义域。解函数 f（x)的定义域是[0，2］.小结：注意，对于分段函数，它的定义域为所有分段区间的并集.如： (1）函数 f (x) x  1 x2 的定义域是；(2)函数 y  lnx 1x 1定义域是（3)函数 f (x)  log2(2x 1) +arcsin（1—x)的定义域类型题 2、函数值与函数记号例设 f（x）=1 1  1 ，求（1）f（x—1)；（2） f  ；（3）f ［ f  ］.x 1 x  x 11(x 1) 1x解 （1）f(x-1）=（2) f 1x 1  =1 x 1x 1x2（3）f [ f  1...