1 四点共圆例讲 例1 如图,E、F、G、H 分别是菱形ABCD 各边的中点.求证:E、F、G、H 四点共圆. 证明 菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O,连接OE、OF、OG、OH. AC 和BD 互相垂直, ∴在Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA 中,E、F、G、H,分别是AB、BC、CD、DA 的中点, 即E、F、G、H 四点共圆. (2)若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角),则四点共圆. 例2 如图,在△ABC 中,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC. 求证:B、E、F、C 四点共圆. 证明 DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠AED+∠AFD=180°, 2 即A、E、D、F 四点共圆, ∠AEF=∠ADF. 又 AD⊥BC,∠ADF+∠CDF=90°, ∠CDF+∠FCD=90°, ∠ADF=∠FCD. ∴∠AEF=∠FCD, ∠BEF+∠FCB=180°, 即B、E、F、C 四点共圆. (3)若两个三角形有一条公共边,这条边所对的角相等,并且在公共边的同侧,那么这两个三角形有公共的外接圆. 证明 在△ABC 中,BD、CE 是 AC、AB 边上的高. ∴∠BEC=∠BDC=90°,且 E、D 在 BC 的同侧, ∴E、B、C、D 四点共圆. ∠AED=∠ACB,∠A=∠A, ∴△AED∽△ACB. 3 上述三种方法是证“四点共圆”的基本方法,至于证第四点在前三点(不在同一直线上)所确定的圆上就不叙述了. 【例1】 在圆内接四边形ABCD 中,∠A-∠C=12°,且∠A∶∠B=2∶3.求∠A、∠B、∠C、∠D 的度数. 解 四边形ABCD 内接于圆, ∴∠A+∠C=180 °. ∠A-∠C=12°, ∴∠A=96°,∠C=84°. ∠A∶∠B=2∶3, ∠D=180 °-144°=36°. 利用圆内接四边形对角互补可以解决圆中有关角的计算问题. 【例2】已知:如图 1 所示,四边形ABCD 内接于圆,CE∥BD 交 AB 的延长线于E.求证:AD·BE=BC·DC. 证明:连结 AC. CE∥BD, ∴∠1=∠E. 4 ∠1 和∠2 都是所对的圆周角, ∴∠1=∠2. ∠1=∠E. 四边形ABCD 内接于圆, ∴∠EBC=∠CDA. ∴△ADC∽△CBE. AD∶BC=DC∶BE. AD·BE=BC· DC. 本例利用圆内接四边形的一个外角等于内对角及平行线的同位角、圆中同弧所对的圆周角得到两个相似三角形的条件,进而得到结论. 关于圆内接四边形的性质,还有一个重要定理.现在中学课本一般都不列入,现介绍如下: 定理:圆内接四边形两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和. 已知:如图 2 所示,四边形ABCD 内接于圆.求证:AC·BD=AB·CD+AD·BC. 证明:作∠BAE=∠C...