1 四点共圆例讲 例1 如图，E、F、G、H 分别是菱形ABCD 各边的中点．求证：E、F、G、H 四点共圆． 证明 菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O，连接OE、OF、OG、OH． AC 和BD 互相垂直， ∴在Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA 中，E、F、G、H，分别是AB、BC、CD、DA 的中点， 即E、F、G、H 四点共圆． (2)若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角)，则四点共圆． 例2 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC． 求证：B、E、F、C 四点共圆． 证明 DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＋∠AFD=180°， 2 即A、E、D、F 四点共圆， ∠AEF=∠ADF． 又 AD⊥BC，∠ADF＋∠CDF=90°， ∠CDF＋∠FCD=90°， ∠ADF=∠FCD． ∴∠AEF=∠FCD， ∠BEF＋∠FCB=180°， 即B、E、F、C 四点共圆． (3)若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆． 证明 在△ABC 中，BD、CE 是 AC、AB 边上的高． ∴∠BEC=∠BDC=90°，且 E、D 在 BC 的同侧， ∴E、B、C、D 四点共圆． ∠AED=∠ACB，∠A=∠A， ∴△AED∽△ACB． 3 上述三种方法是证“四点共圆”的基本方法，至于证第四点在前三点(不在同一直线上)所确定的圆上就不叙述了． 【例1】 在圆内接四边形ABCD 中，∠A-∠C=12°，且∠A∶∠B=2∶3．求∠A、∠B、∠C、∠D 的度数． 解 四边形ABCD 内接于圆， ∴∠A+∠C=180 °． ∠A-∠C=12°， ∴∠A=96°，∠C=84°． ∠A∶∠B=2∶3， ∠D=180 °-144°=36°． 利用圆内接四边形对角互补可以解决圆中有关角的计算问题． 【例2】已知：如图 1 所示，四边形ABCD 内接于圆，CE∥BD 交 AB 的延长线于E．求证：AD·BE=BC·DC． 证明：连结 AC． CE∥BD， ∴∠1=∠E． 4 ∠1 和∠2 都是所对的圆周角， ∴∠1=∠2． ∠1=∠E． 四边形ABCD 内接于圆， ∴∠EBC=∠CDA． ∴△ADC∽△CBE． AD∶BC=DC∶BE． AD·BE=BC· DC． 本例利用圆内接四边形的一个外角等于内对角及平行线的同位角、圆中同弧所对的圆周角得到两个相似三角形的条件，进而得到结论． 关于圆内接四边形的性质，还有一个重要定理．现在中学课本一般都不列入，现介绍如下： 定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和． 已知：如图 2 所示，四边形ABCD 内接于圆．求证：AC·BD=AB·CD＋AD·BC． 证明：作∠BAE=∠C...
