快速傅立叶变换（FFT）的C++实现 收藏 标准的离散傅立叶 DFT 变换形式如： yk=Σj=0n-1 ajωn-kj = A (ωn-k). （ω nk 为复数 1 的第 k 个 n 次方根，且定义多项式 A (x) = Σj=0n-1 ajxj ） 而离散傅立叶逆变换 IDFT (Inverse DFT)形式如： aj=(Σk=0n-1 ykωnkj)/n . yk=Σj=0n-1 ajω n-kj = A (ω n-k). （ωnk 为复数 1 的第 k 个 n 次方根，且定义多项式 A (x) = Σj=0n-1 ajxj ） 而离散傅立叶逆变换 IDFT (Inverse DFT)形式如： aj=(Σk=0n-1 ykωnkj)/n . 以下不同颜色内容为引用并加以修正： 快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是离散傅立叶变换（Discrete Fourier transform，DFT）的快速算法，它是根据离散傅立叶变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅立叶变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。 设 Xn 为 N 项的复数序列，由 DFT 变换，任一 Xi 的计算都需要 N 次复数乘法和 N -1 次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出 N 项复数序列的 Xi ，即 N 点 DFT 变换大约就需要 N2 次运算。当 N =1024 点甚至更多的时候，需要 N2 = 1048576 次运算，在 FFT 中，利用 ωn 的周期性和对称性，把一个 N 项序列（设 N 为偶数），分为两个 N / 2 项的子序列，每个 N / 2 点 DFT 变换需要 (N / 2)2 次运算，再用 N 次运算把两个 N / 2 点的 DFT 变换组合成一个 N 点的 DFT 变换。这样变换以后，总的运算次数就变成 N + 2 * (N / 2)2 = N + N2 / 2。继续上面的例子，N =1024 时，总的运算次数就变成了 525312 次，节省了大约 50% 的运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的 DFT 运算单元，那么 N 点的 DFT 变换就只需要 N * log2N 次的运算，N = 1024 点时，运算量仅有 10240 次，是先前的直接算法的1% ，点数越多，运算量的节约就越大，这就是 FFT 的优越性。 FFT 的实现可以自顶而下，采用递归，但是对于硬件实现成本高，对于软件实现都不够高效，改用...
