《概率论与数理统计》习题及答案第四章

·34· 《概率论与数理统计》习题及答案 第 四 章 1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字 1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,XY 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求 (,)XY的分布列. 解 (,)XY的分布列为 123111061 2111266611301 26 其中 (1 ,1 )(1 )(1 |1 )PXYPXPYX (1 ,2 )(1 )(2 |PXYPXPYX 121436 余者类推。 2．将一枚硬币连掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出 (,)XY的分布列及边缘分布列。 解 一 枚 硬 币 连 掷 三 次 相 当 于 三 重 贝 努 里 试 验 ， 故1~(3,).2XB 331()() ,0,1, 2, 32kPXkCk，于是(,)XY的分布列和边缘分布为 X Y ·35· 012333610088811230088813318888jipp 其中 (0 ,1 )(0 )(1 |0 )PXYPXPYX， 13313(1,1)(1)(1 |1)()128PXYPXP YXC， 余者类推。 3．设 (,)XY的概率密度为 1(6),02,24,(,)80,.xyxyfxy 其 它 又（1）{( ,) |1,3}Dx yxy；（2）{( ,) |3}Dx yxy。求{(, )}PX YD 解 （1）13021{ (,)}(6)8PxyDxy d x d x y  1194368228； （2）13021{ (,)}(6)8xPXYDxy d x d y  11200113(1)[(3)4 ]82xx d xxd x 52 4. 4．设(,)XY的概率密度为 22222(),,(,)0,.CRxyxyRfxy 其 他 求（1）系数C ；（2） (,)XY落在圆222 ()xyrrR内的概率. 解 （1）22222232001()RxyRCRxyd x d yCRCr d rd Y X x x+y=3 4 2 2 y ·36· 333233RRCRC，  33CR. （2）设222{ (,) |}Dx yxyr，所求概率为 2222233{ (,)}()xyrPXYDRxyd xd yR 322323232133rrrR rRRR. 5．已知随机变量 X 和Y 的联合概率密度为 4,01, 01(,)0 ,.xyxyfx y 其 它 求 X 和Y 的联合分布函数. 解1 设 (,)XY的分布函数为(,)Fx y ，则 (,)(,)xyFx yfu v d u d v   001001000 ,00,4,01, ...