《高等数学》知识在物理学中的应用举例

1 《高等数学》知识在物理学中的应用举例 一 导数与微分的应用 分析 利用导数与微分的概念与运算，可解决求变化率的问题。求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量求变化率。在此基础上，灵活运用各类导数和微分公式解决具体问题。 例1 如图，曲柄,rOA 以均匀角速度 饶定点O转动.此曲柄借连杆 AB 使滑块 B 沿直线 Ox 运动.求连杆上 C 点的轨道方程及速度.设,aCBAC ,AOB .ABO y 解 1 ) 如图，点C 的坐标为： coscosarx， (1) A .sinay  (2) C 由三角形的正弦定理，有 B ,sin2sinar o x 故得 .2sin2sinryra (3) 由(1)得 ryaxrax22coscos (4) 由,1cossin)4()3(2222得 ,12422222222ryaxyaxry 化简整理,得C 点的轨道方程为: .)3()(422222222rayxyax 2 ) 要求C 点的速度,首先对(1),(2)分别求导,得 ,sincos2cossinrrx ,2cosry  其中. 2 又因为,sin2sinar 对该式两边分别求导,得 .cos2cosar 所以C 点的速度 22yxV4cos)sincos2cossin(2222rrr .)sin(cossin4coscos22r 例2 若一矿山升降机作加速度运动时,其加速度为),2sin1(Ttca式中c 及T 为常数,已知升降机的初速度为零,试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程. 解: 由题设及加速度的微分形式dtdva ,有 ,)2sin1(dtTtcdv 对等式两边同时积分 vtdtTtcdv00,)2sin1( 得: ,2cos2DTtTcctv 其中 D 为常数. 由初始条件:,0,0tv得,2cTD于是 )].12(cos2[TtTtcv 又因为,dtdsv 得 ,)]12(cos2[dtTtTtcds 对等式两边同时积分,可得: )].2sin2(221[2tTtTTtcs 3 例3 宽度为d 的河流，其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为.c 一小船以相对速度u 沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。 解 以一岸边为x轴，垂直岸的方向为y 轴，如图建立坐标系。 所以水流速度为 y .2),(,20,dydydkdykyv d o x 由河流中心处水流速度为c ，故)2(2ddkdkc...