一维热传导方程

一维热传导方程 一． 问题介绍 考虑一维热传导方程： （1） ,0),(22Ttxfxuatu 其中a 是正常数，)( xf是给定的连续函数。按照定解条件的不同给法，可将方程（1）的定解问题分为两类： 第一类、初值问题（也称 Cauthy 问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(txu，满足方程（1）（x）和初始条件： （2） ),()0,(xxu x 第二类、初边值问题（也称混合问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(txu，满足方程（1）（lx 0）和初始条件： （3） ),()0,(xxu lx 0 及边值条件 (4) .0),(),0(tlutu Tt 0 假定)( x在相应区域光滑，并且在lx,0满足相容条件，使上述问题有唯一充分光滑的解。 二． 区域剖分 考虑边值问题（1），（4）的差分逼近。去空间步长Nlh/和时间步长MT /，其中N,M 都是正整数。用两族平行直线： ),,1,0(Njjhxxj ),,1,0(Mkkttk 将矩形域}0;0{TtlxG分割成矩形网格，网格节点为),(kj tx。以hG 表示网格内点集合，即位于开矩形 G 的网点集合；hG 表示所有位于闭矩形 G 的网点集合；h =hG --hG 是网格界点集合。 三． 离散格式 第k+1 层值通过第k 层值明显表示出来，无需求解线性代数方程组，这样的格式称为显格式。 第k+1 层值不能通过第k 层值明显表示出来，而由线性代数方程组确定，这样的格式称为隐格式。 1. 向前差分格式 （5） ,22111jkjkjkjkjkjfhuuuauu )(jjxff， )(0jjjxu， 00kNkuu， 其中j = 1,2,…，N-1，k = 1,2,…,M-1。以2/ har表示网比。则方程（5）可以改写为： jkjkjkjkjfruurruu111)21( 易知向前差分格式是显格式。 2. 向后差分格式 （6） ,11111)21(jkjkjkjkjfuruuuru )(0jjjxu， 00kNkuu， 其中j = 1,2,…，N-1，k = 1,2,…,M-1，易知向前差分格式是显格式。 3. 六点对称格式（Grank-Nicolson 格式） 将向前差分格式和向后差分格式作算术平均，即得到六点对称格式： （7） 111112)1(2kjkjkjururur =jkjkjkjfururur112)1(2 利用0ju 和边值便可逐层求到kju 。六点对称格式是隐格式，由第k 层计算第k+1 层时需解线性代数方程组（因系数矩阵严格对角占优，方程组可唯一求解）。 将其截断误差)(x...