一般最小二乘拟合VIP专享

第三节 一般最小二乘拟合 多项式拟合形式比较规范，方法也比较简单，但在实际应用中，针对所讨论问题的特点，拟合函数可能为其他类型，如指数函数、有理函数、三角函数等，这就是一般最小二乘拟合问题。 一 线性最小二乘拟合 设)(,),(),(10xxxn为n+1个线性无关（与向量的线性无关定义类似）的连续函数， 为)(),(),(10xxxn所张成的n+1维线性空间，即由其 所有线性组合nkkkknkRaxa0),,1,0(),(构成的集 合，记作 )(,),(),(10xxxspann 任取)(xp，则nkkkxaxp0)()(，它是关于naaa,,,10的线性函数。 对已知数据点),,1,0)(,(miyxii，在 中求一)(xp，使得 min)()(00202  miminkiikkiiyxayxpI (1) 这就是一般线性最小二乘拟合问题。 同多项式拟合完全类似，上述问题归结为多元函数的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，可得 njxyxaaImiijnkiikkj,1,0,0)())((200  即 njyxaxxmiiijknkmiikij,,1,0,)()()(000  (2) 它是关于naaa,,,10的线性方程组，即为一般线性最小二乘拟合的正规方程组 或 法方程组，系数矩阵为对称矩阵。 记 TmTnTmkkkkyyyyaaaankxxx),,,(,),,,(,,1,0,))(,),(),((101010 则 njyxynkjxxmiiijjmiikijkj,,1,0,)(),(,,1,0,),()(),(00 式（2）可用矩阵表示为 )()()(),(),(),(),(),(),(),(),(),(,,1,010101110101000yyyaaannnnnnnn (4) 式（3）也可表示为 yGGaGTT （5） 如果G的列向量组线性无关，即R(G)=n+1，则正规方程组（3）或（5）存在唯一解a=naaa,,,10，从而nkkkxaxp0)()(为满足式（1）的最小二乘拟合函数。 显然，式（3）或式（5）的解a=naaa,,,10是超定方程组 yGa 的最小二乘解。 特别地，当取),,1,0(nkx kk时，即为多项式拟合，所以 多项式拟合是一 般最小线性二乘拟合的特殊情况。 例 1 已知一组数据如下表，在xx eespan,,1中求其拟合函数。 ix 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 iy 2 2.20254 2.40715 2.61592 2.83096 3.05...