第三节 一般最小二乘拟合 多项式拟合形式比较规范,方法也比较简单,但在实际应用中,针对所讨论问题的特点,拟合函数可能为其他类型,如指数函数、有理函数、三角函数等,这就是一般最小二乘拟合问题。 一 线性最小二乘拟合 设)(,),(),(10xxxn为n+1个线性无关(与向量的线性无关定义类似)的连续函数, 为)(),(),(10xxxn所张成的n+1维线性空间,即由其 所有线性组合nkkkknkRaxa0),,1,0(),(构成的集 合,记作 )(,),(),(10xxxspann 任取)(xp,则nkkkxaxp0)()(,它是关于naaa,,,10的线性函数。 对已知数据点),,1,0)(,(miyxii,在 中求一)(xp,使得 min)()(00202 miminkiikkiiyxayxpI (1) 这就是一般线性最小二乘拟合问题。 同多项式拟合完全类似,上述问题归结为多元函数的极值问题。由多元函数求极值的必要条件,可得 njxyxaaImiijnkiikkj,1,0,0)())((200 即 njyxaxxmiiijknkmiikij,,1,0,)()()(000 (2) 它是关于naaa,,,10的线性方程组,即为一般线性最小二乘拟合的正规方程组 或 法方程组,系数矩阵为对称矩阵。 记 TmTnTmkkkkyyyyaaaankxxx),,,(,),,,(,,1,0,))(,),(),((101010 则 njyxynkjxxmiiijjmiikijkj,,1,0,)(),(,,1,0,),()(),(00 式(2)可用矩阵表示为 )()()(),(),(),(),(),(),(),(),(),(,,1,010101110101000yyyaaannnnnnnn (4) 式(3)也可表示为 yGGaGTT (5) 如果G的列向量组线性无关,即R(G)=n+1,则正规方程组(3)或(5)存在唯一解a=naaa,,,10,从而nkkkxaxp0)()(为满足式(1)的最小二乘拟合函数。 显然,式(3)或式(5)的解a=naaa,,,10是超定方程组 yGa 的最小二乘解。 特别地,当取),,1,0(nkx kk时,即为多项式拟合,所以 多项式拟合是一 般最小线性二乘拟合的特殊情况。 例 1 已知一组数据如下表,在xx eespan,,1中求其拟合函数。 ix 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 iy 2 2.20254 2.40715 2.61592 2.83096 3.05...